Curva del drago di Heighway

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Curva del drago di Heighway

La curva del drago di Heighway, o semplicemente curva del drago ( o "Curva di Harter-Heighway" o "Drago di Heighway"), è una curva ricorsiva non auto-intersecante il cui nome deriva dalla sua somiglianza con la nota creatura mitica. Fu per la prima volta studiata dal fisico della NASA John Heighway, in collaborazione con Bruce Banks e William Harter. La curva è un frattale che viene sviluppato costruendo due lati del quadrato che ha per diagonale un segmento dato, quindi il segmento iniziale viene cancellato; si ripete il processo di sostituzione sui due segmenti ottenuti alternando l'orientamento dei triangoli (non alternando l'orientamento si ottiene la curva del drago di Lèvy); si ripete quest'operazione innumerevoli volte per ogni segmento risultante dall'insieme di sostituzioni precedenti.

È stata descritta da Martin Gardner nella sua Cronaca dei giochi matematici degli Stati Uniti nel 1967. Molte delle sue proprietà sono state pubblicate da Chandler Davis e Donald Knuth.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Come detto sopra questa curva può essere descritta in questo modo: partendo da un segmento di base, si sostituisca ogni segmento con due segmenti uguali uniti ad angolo retto e con una rotazione di 45° alternativamente a destra e a sinistra, si reiteri quindi l'operazione:[1]

Le prime 5 iterazioni e la 9°
Ricorsiva costruzione della curva

Può essere formalizzato come sistema di Lindenmayer con[1]

  • angolo 90°
  • stringa iniziale FX
  • regole di riscrittura delle stringhe
    • X X+YF+
    • Y -FX-Y

dove

  • F=traccia linea,
  • X/Y=posizione pari o dispari,
  • +/-=+90°/-90°

La curva del drago di Heighway è più semplicemente descritta come l’insieme limite del seguente sistema di funzioni iterate nel piano complesso:

con i punti iniziali nell'insieme .

Utilizzando invece coppie di numeri reali, è descritta dalle due funzioni che consistono in:

Equivalenza con una striscia piegata[2][modifica | modifica wikitesto]

Dragon curve paper strip.png

Tracciando un'iterazione della curva del drago di Heighway da un'estremità all'altra, si incontra una serie di “svolte” a 90°, alcune a destra e altre a sinistra. Per le prime iterazioni, la sequenza delle curve destra (Dª) e sinistra (Sª) è la seguente:

1ª iterazione: Dª
2ª iterazione: • Dª •
3ª iterazione: • Dª • • Dª • • Sª •
4ª iterazione: • Dª • • Sª • • Sª • • Dª • • Dª • • Sª • • Sª • .

Questo suggerisce il seguente schema: ogni iterazione è formata prendendo l'iterazione precedente, aggiungendo una alla fine, e quindi prendendo di nuovo l'iterazione originale, ruotandola retrograda, scambiando ogni lettera e aggiungendo il risultato dopo la . A causa dell'auto -similitudine mostrata dalla curva del drago, questo significa in effetti che ogni iterazione successiva aggiunge una copia dell'ultima iterazione ruotata in senso antiorario al frattale.

Questo modello a sua volta suggerisce il seguente metodo per creare modelli di iterazioni della curva di Heighway piegando una striscia di carta. Prendi una striscia di carta e piegala a metà a destra. Piegalo di nuovo a metà a destra. Se si riaprisse la striscia a questo punto la sequenza di svolte sarebbe RRL, cioè la seconda delle iterazioni sopra riportate. Continuando invece a piegare nuovamente la striscia a metà a destra, la sequenza di svolte della striscia (se venisse spiegata ora) è RRLRRLL - la terza iterazione. Continuando a piegare la striscia a metà a destra si creerebbero ulteriori iterazioni del drago di Heighway (anche se, in pratica, la striscia diventa troppo spessa per piegarsi bruscamente dopo quattro o cinque iterazioni).

Dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Nonostante il suo aspetto complicato, la curva del drago di Heighway ha dimensioni semplici.

Dimensions fractale dragon.png

Si noti che i valori e sono limiti e non valori effettivi. Anche la sua superficie è abbastanza semplice: se il segmento iniziale è uguale a 1, la sua superficie è uguale a .[3] Questo risultato è stato ricavato grazie alle sue capacità di tassellazione (vedere sotto).

Auto-similarity dragon curve.png

La sua dimensione frattale è .[3]

E in effetti molte "auto-similitudini" possono essere viste in questa curva. La più ovvia è la ripetizione dello stesso modulo con un'inclinazione di 45° e con un rapporto di riduzione di .

La sua frontiera (o bordo) ha una lunghezza infinita, poiché aumenta di un fattore maggiore di a ogni iterazione, ma la sua dimensione frattale è stata approssimata numericamente da Chang e Zhang[4][5]

Che è la radice dell'equazione:

Tassellatura del piano[modifica | modifica wikitesto]

La curva del drago può tassellare il piano in differenti modi.

Esempio 1 di tassellatura
Esempio 2 di tassellatura
Esempio 3 di tassellatura

Ingrandendo si vede che vengono usati i seguenti elementi di incastro

Essa può anche tassellare se stessa

The dragon curve can tile itself

E in dimensioni crescenti forma una spirale, con 4 di queste spirali si può tassellare il piano

Dragon curves of increasing sizes (ratio sqrt(2)) form an infinite spiral. 4 of these spirals (with rotation 90°) tile the plane


Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b (EN) Iterazioni della curva del drago - Kevin Ryde marzo 2017, bozza 15 (PDF), su download.tuxfamily.org. URL consultato il 19 agosto 2018.
  2. ^ (EN) Curva del drago, su mathcurve.com. URL consultato il 19 agosto 2018.
  3. ^ a b (EN) Heighway Dragon Area, su ecademy.agnesscott.edu. URL consultato il 19 agosto 2018.
  4. ^ (EN) Fractal dimension of the boundary of the Dragon curve, su poignance.coiraweb.com. URL consultato il 19 agosto 2018.
  5. ^ (EN) The Boundary of Periodic Iterated Function Systems]" di Jarek Duda, The Wolfram Demonstrations Project. Recurrent construction of the boundary of dragon curve., su demonstrations.wolfram.com. URL consultato il 19 agosto 2018.

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