Costante di Meissel-Mertens

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Costante di Meissel-Mertens
Simbolo B1
Valore 0, 26149721284764278375542...
(sequenza A077761 dell'OEIS)
Origine del nome Ernst Meissel e Franz Mertens
Frazione continua [2; 1, 1, 1, 1, 2, 13, 1, 24, 3, 2, ...]
Campo numeri reali

La costante di Meissel-Mertens è una costante matematica usata principalmente in teoria dei numeri e definita come il limite della differenza fra la serie armonica sommata solo sui numeri primi e il logaritmo (naturale) del logaritmo:

B_1 = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{p \leq n} \frac{1}{p}  - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right],

ove γ è la costante di Eulero - Mascheroni, che ha una definizione analoga comprendente una somma su tutti gli interi (e non solo sui numeri primi).

Il valore della costante di Meissel-Mertens è approssimativamente

B1 = 0,261497212847642783755426838608695859...

I due logaritmi (log di log) nel limite nella definizione della costante di Meissel-Mertens possono essere pensati come una conseguenza della combinazione del teorema dei numeri primi con il fatto che ci sia il logaritmo nella definizione della costante di Eulero-Mascheroni.

Questa costante è talvolta chiamata semplicemente costante di Mertens. Inoltre nella letteratura matematica è talvolta indicata come costante di Kronecker, o costante di Hadamard-de la Vallée-Poussin, oppure costante reciproca dei numeri primi.

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