Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

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Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
Simbolo λ
Valore 0,303663002898732658...
(sequenza A038517 dell'OEIS)
Origine del nome Carl Friedrich Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing
Frazione continua [0, 3, 3, 2, 2, 3, 13, 1, 174, 1, 1, 1, ...]
(sequenza A007515 dell'OEIS)
Campo numeri reali

La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

[Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

\frac {\ln 2} {1+x}.

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

\lambda = 0,30366300289...

Eduard Wirsing ha mostrato che, se F_n(x) è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

\lim_{n \to \infty}\frac{F_n(x) - \ln(1 - x)}{(-\lambda)^n} = \Psi(x),

dove \Psi(x) è una funzione analitica tale che \Psi(0) = \Psi(1) = 0.

Relazione con la funzione Zeta di Riemann[modifica | modifica sorgente]

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_0^1 h(x) x^{s-1} \; dx

questo implica che:

\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_0^1 dx\; x \left[Gx^{s-1} \right]

dopo un cambio di variabile.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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