Costante di Erdős-Borwein

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Costante di Erdős-Borwein
Simbolo E
Valore 1, 606695152415291763...
(sequenza A065442 dell'OEIS)
Origine del nome Paul Erdős e da Peter Borwein
Frazione continua [1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, ...]
(sequenza A038631 dell'OEIS)
Insieme numeri irrazionali

La costante di Erdős-Borwein E è la somma dei reciproci dei numeri di Mersenne. Prende il nome da Paul Erdős e da Peter Borwein.

Per definizione è:


E_B=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1,60669 51524 15291 763...

Si dimostra che le forme seguenti sono equivalenti alla precedente:


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}

E=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

dove \sigma_0(n)=d(n) è la funzione divisore di parametro 0, che ha lo scopo di contare il numero di divisori del numero n. Per provare l'equivalenza di queste somme si sfrutta il fatto che hanno tutte la forma di una serie di Lambert.

Erdős nel 1948 ha dimostrato che la costante E è un numero irrazionale.

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