Congettura di Elliott-Halberstam

Nella teoria dei numeri, la congettura di Elliott–Halberstam è una congettura che afferma che, in media, i numeri primi si distribuiscono nelle progressioni aritmetiche nel modo più regolare possibile. Prende il nome dai matematici Peter D. T. A. Elliott e Heini Halberstam ed ha molte applicazioni nella teoria dei crivelli.

L'enunciato

Per prima cosa denotiamo con $\pi (x)$ la funzione enumerativa dei primi, ossia la funzione che conta il numero di primi minori di x. Per ogni intero q i numeri primi minori di x si distribuiscono nelle varie classi di resto modulo q. Per ogni intero a modulo q, denotiamo con $\pi (x;q,a)$ il numero di primi minori di x che stanno nelle classi di numeri congrui ad a modulo q.

Il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche ci assicura che i primi sono approssimativamente equidistribuiti nelle varie classi a modulo q con a e q sono coprimi, ossia:

$\pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}$

dove $\varphi$ è la funzione φ di Eulero (che coincide con il numero di classi a modulo q con a e q coprimi). Se definiamo la funzione d'errore

$E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,$

dove il massimo è preso tra tutti gli a coprimi rispetto a q, allora la congettura di Elliott–Halberstam afferma che per ogni numero positivo θ < 1 (chiamato livello di distribuzione) e ogni A > 0 esiste una costante C > 0 tale che

$\sum _{1\leq q<x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}$

per ogni x > 2. In altre parole, la congettura afferma che la funzione d'errore $E(x;q)$ è "piccola" in media al variare del modulo q tra gli interi minori di $x^{\theta }$.

Progressi verso la dimostrazione della congettura ed applicazioni

Enrico Bombieri e A. I. Vinogradov hanno dimostrato che la congettura di Elliott-Halberstam è vera per ogni $\theta <{\frac {1}{2}}$. Questo risultato, noto come teorema di Bombieri–Vinogradov, implica che l'ipotesi di Riemann generalizzata (che è equivalente all'asserzione E(x;q)=O($x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$) per ogni intero positivo q e ogni ε>0) è vera in media al variare del modulo q tra gli interi minori di $x^{{\frac {1}{2}}-\varepsilon }$ per ogni $\varepsilon >0$ ed è stato spesso utilizzato per dimostrare teoremi che in passato erano ottenibili solo assumendo tale ipotesi. La congettura di Elliott-Halberstam fornisce invece una congettura più forte di quanto ottenibile assumendo l'ipotesi di Riemann generalizzata. Inoltre, è noto che la congettura è falsa per valori di θ maggiori o uguali a 1.

La congettura di Elliott-Halberstam, così come le sue versioni più deboli che assumono solo che sia valida per un qualche $\theta >{\frac {1}{2}}$, hanno molte conseguenze. Una delle più note è il risultato ottenuto da Dan Goldston, János Pintz, e Cem Yıldırım che mostra che, assumendo vera la congettura, esiste un numero infinito di coppie di primi la cui distanza è minore o uguale a D = 16 (nel 2013, James Maynard ha migliorato tale risultato dimostrato che si può prendere D = 12). Inoltre, gli stessi tre matematici hanno dimostrato che è sufficiente assumere la congettura di Elliott-Halberstam per un qualunque livello di distribuzione $\theta >{\frac {1}{2}}$, per ottenere l'esistenza di un qualche numero D con tale proprietà. Questo risultato è stato successivamente dimostrato incondizionatamente da Yitang Zhang, proprio mostrando che una versione leggermente modificata della congettura di Elliott-Halberstam è vera per un qualche $\theta >{\frac {1}{2}}$.

Bibliografia

• E. Bombieri, On the large sieve, in Mathematika, vol. 12, 1965, pp. 201–225.
• P. D. T. A. Elliott e H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, in Symp. Math., vol. 4, 1968, pp. 59–72.
• (RU) A. I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series, in Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, n. 4, 1965, pp. 903–934, MR 197414.
• K. Soundararajan, Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım, in Bull. AMS, vol. 44, n. 1, 2007, pp. 1–18, DOI:10.1090/S0273-0979-06-01142-6.