Assioma dell'infinito

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Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'infinito è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall a: a \in \mathbf{N} \implies a \cup \{a\} \in \mathbf{N})

oppure a parole:

Esiste un insieme N tale che l'insieme vuoto è in N, e tale che ogni volta che a è un elemento di N, l'insieme formato dall'unione di a con il suo singoletto {a} è anch'esso un elemento di N. Tale insieme è talvolta chiamato insieme induttivo.

Per comprendere questo assioma, per prima cosa definiamo il successore di a come a ∪ {a}. Si noti che l'assioma della coppia ci permette di costruire il singoletto {a}, e quindi di formare la coppia. I successori sono usati per definire l'usuale codifica insiemistica dei numeri naturali. In questa codifica, lo zero è l'insieme vuoto (0 = {}), e 1 è il successore di 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0}.

Allo stesso modo, 2 è il successore di 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1},

e così via. Una conseguenza di questa definizione è che ogni numero naturale è uguale all'insieme di tutti i numeri naturali precedenti.

Potremmo avere l'intenzione di formare l'insieme di tutti i numeri naturali, ma si scopre che, usando solo gli altri assiomi, è impossibile. L'assioma dell'infinito quindi assume l'esistenza di questo insieme, e ottiene questo con un metodo simile all'induzione matematica, assumendo prima di tutto che esista un insieme S che contiene zero, e poi facendo in modo che, per ogni elemento di S, il successore dell'elemento è ancora in S.

Questo insieme può contenere altri elementi oltre ai numeri naturali, di cui sarebbero un sottoinsieme, ma possiamo applicare lo schema di assiomi di specificazione per rimuovere gli elementi indesiderati, lasciando l'insieme N di tutti i numeri naturali. Questo insieme è unico per l'assioma di estensionalità.

Quindi l'essenza dell'assioma è:

Esiste un insieme che contiene tutti i numeri naturali.

L'assioma dell'infinito è anche uno degli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel.

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