Assioma dell'infinito

Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'infinito è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

\exists X:\varnothing \in X\land (\forall x:x\in X\implies x\cup \{x\}\in X),

oppure a parole:

Esiste un insieme

X

tale che l'insieme vuoto è in

X

e tale che ogni volta che

x

è un elemento di

X,

l'insieme formato dall'unione di

x

con il suo singoletto

\{x\}

è anch'esso un elemento di

X.

Tale insieme

X

è talvolta chiamato apodittico^[1] o insieme induttivo.

Per comprendere questo assioma, per prima cosa definiamo il successore di $a$ come $a\cup \{a\}.$ Si noti che l'assioma della coppia ci permette di costruire il singoletto $\{a\}$ per ogni insieme $a.$ I successori sono usati per definire i numeri naturali. In questa costruzione, lo zero è l'insieme vuoto ( $0=\{\}$ ), e 1 è il successore di 0:

1=0\cup \{0\}=\{\}\cup \{0\}=\{0\}.

Allo stesso modo, 2 è il successore di 1:

2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\},

e così via. Una conseguenza di questa definizione è che ogni numero naturale è uguale all'insieme di tutti i numeri naturali precedenti.

Potremmo avere la tentazione di formare l'insieme $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ di tutti i numeri naturali ma la sua esistenza non è garantita dagli altri assiomi. L'assioma dell'infinito, assumendo l'esistenza di un insieme apodittico $X,$ garantisce che l'insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ possa essere definito come l'intersezione di tutti gli insiemi apodittici contenuti in $X.$ L'insieme $\mathbb {N}$ ottenuto a partire da $X$ sembra dipendere da questo: scegliendo un altro insieme $Y$ apodittico si potrebbe ottenere $\mathbb {N} '$ in $Y.$ In effetti, basta osservare che $X\cap Y\neq \varnothing$ è apodittico: quindi $\mathbb {N} \subseteq X\cap Y\subseteq Y$ da cui segue $\mathbb {N} '\subseteq \mathbb {N}$ come $\mathbb {N} '\subseteq X\cap Y\subseteq X$ e quindi $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {N} '$ ossia $\mathbb {N} '=\mathbb {N}$ . L'insieme $\mathbb {N}$ è unico ed esiste grazie all'assioma dell'infinito.