Approssimazione di Kochański

In matematica, l'approssimazione di Kochański consente di ottenere un valore approssimato di π a partire da una particolare costruzione geometrica. Prende il nome dal religioso gesuita e matematico polacco Adam Adamandy Kochański, che per primo la propose nel suo trattato Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae del 1685, dedicato al problema della rettificazione della circonferenza.

Costruzioni

La costruzione di Kochański, così come appare nell'Observationes Cyclometricæ.

La costruzione che segue è la versione originale che compare nel trattato di Kochański e fornisce una soluzione al problema della rettificazione di una circonferenza unitaria, attraverso la determinazione geometrica di un segmento di lunghezza approssimativamente pari a π (cioè la semicirconferenza di un cerchio unitario).

Si costruisca una semicirconferenza $BCD$ di raggio unitario centrata in $A$ e la si inscriva nel rettangolo $BGHD$. Si tracci il raggio $AE$ che forma rispetto al raggio $AC$ un angolo di $60^{\circ }$, e lo si prolunghi fino a intercettare il segmento $BG$ nel punto $I$. Si prolunghi infine $DH$ di un segmento $HL$ di lunghezza pari al diametro della semicirconferenza.

La lunghezza del segmento $IL$ è una approssimazione di π: infatti, riguardando $IL$ come l'ipotenusa del triangolo rettangolo $IKL$ e applicando il teorema di Pitagora si ha che:

${\begin{aligned}IL&={\sqrt {IK^{2}+KL^{2}}}={\sqrt {2^{2}+\left[\left(1-\tan {30^{\circ }}\right)+2\right]^{2}}}\\&={\sqrt {4+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .\end{aligned}}$

Costruzione alternativa

Una costruzione alternativa.

Si costruisca una circonferenza di raggio unitario centrata in $O$, e si definisca un sistema di riferimento con l'asse delle ordinate passante per il diametro verticale e l'origine posta nel punto $A$. Si tracci ora il cerchio centrato in $A$ e di raggio unitario; esso intersecherà il primo cerchio nel punto $C\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$. Si tracci il cerchio centrato in $C$ di raggio unitario, che intersecherà il secondo cerchio nel punto $D\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$. Il segmento che congiunge $O$ e $D$ interseca l'asse delle ascisse passante per $A$ nel punto $E\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$. Si costruisca infine il punto $F\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$ in modo che si trovi a distanza 3 da $D$ nella direzione positiva delle ascisse.

La lunghezza del segmento $BF$ ottenuto da questa costruzione geometrica è una approssimazione del valore di π, corretta fino alla quarta cifra decimale. Infatti, osservando $BF$ come l'ipotenusa del triangolo rettangolo $BAF$ e applicando il teorema di Pitagora si ha:

$BF={\sqrt {2^{2}+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .$

Voci correlate

• Arbelo
• Archimede
• Cerchio
• Circonferenza

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Approssimazione di Kochański, su MathWorld, Wolfram Research.