Algoritmo della linea di Bresenham

L'algoritmo della linea di Bresenham (da alcuni chiamato algoritmo del punto medio o anche Cerchi di Bresenham) è un algoritmo di rasterizzazione di linea. Allo stato attuale è l'algoritmo più usato per la rasterizzazione di linee, soprattutto per la sua bassa richiesta di risorse computazionali.

Descrizione

Per capire l'algoritmo, semplifichiamo il problema assumendo che $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ sia compreso tra $0<m<1$.

Immaginiamo di trovarci ad un passo $i$ dell'algoritmo, cioè abbiamo appena determinato quale pixel "accendere", per esempio $p_{1}(x_{1},y_{1})$.

Ora dobbiamo determinare il prossimo pixel da "accendere", chiamiamolo $p_{2}(x_{2},y_{2})$, dove $x_{2}=x_{1}+1$.

La situazione è quella riportata in figura 1, dove dal punto 1 (quello in verde) dobbiamo passare al punto 2 che si può trovare subito a destra, caso A, o in alto a destra, caso B.

Figura 1

• Nel caso A abbiamo $y_{2}=y_{1}$;
• Nel caso B abbiamo $y_{2}=y_{1}+1$.

Prendiamo in considerazione il punto $M(x_{1}+1,y_{1}+{1 \over 2})$ (Figura 2), punto medio tra A e B. Se la linea da rasterizzare passa sopra, illumineremo il pixel superiore B, altrimenti il pixel inferiore A.

Figura 2

Per determinare se $M$ si trova sotto o sopra la retta, consideriamo la forma esplicita dell'equazione della retta:

$y={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot x+q$

che può essere riscritta nella forma:

$-\Delta x\cdot y+\Delta y\cdot x+\Delta x\cdot q=0$

Tutti i punti appartenenti alla retta devono verificare l'equazione. Ma questa retta divide anche due semipiani, quello composto da tutti i punti per cui la formula precedente restituisce un valore positivo e quello per cui restituisce un valore negativo. Un esempio dei semipiani lo troviamo nella figura 3.

Figura 3

Quindi dalla formula precedente possiamo ricavare il valore decisionale $d$, sostituendo ad $x$ ed $y$ le coordinate di $M(x_{1}+1,y_{1}+1/2)$ (il punto medio tra A e B):

$d=-\Delta x\cdot y_{M}+\Delta y\cdot x_{M}+\Delta x\cdot q$

il quale sarà:

• $d=0$, se il punto giace sulla retta; in questo caso possiamo scegliere in modo indifferente il punto A o il punto B;
• $d<0$, se il punto si trova sopra la retta; in questo caso prendiamo il punto A;
• $d>0$, se il punto si trova sotto la retta; in questo caso prendiamo il punto B.

Nell'algoritmo avremmo necessità ogni volta di sapere se $d$ è positivo o negativo.

Ipotizziamo di aver scelto il punto A, in questo caso il nostro punto di partenza $p$ è $p(x_{1}+1,y_{1})$, e il nostro nuovo punto medio M è $M(x_{1}+2,y_{1}+{1 \over 2})$. Invece il nuovo valore di $d$ è:

$d_{new}=-\Delta x\cdot y_{M}+\Delta y\cdot x_{M}+\Delta x\cdot q=-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {1}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+2)+\Delta x\cdot q$

Proviamo a sottrarre al nuovo valore di $d$ quello vecchio:

$d_{new}-d_{old}=-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {1}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+2)+\Delta x\cdot q-\left(-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {1}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+1)+\Delta x\cdot q\right)$

Semplificando otteniamo:

$d_{new}-d_{old}=\Delta y$

Quindi abbiamo modo di ricavare il nuovo valore $d$ in modo più semplice dal vecchio, senza ogni volta rifare tutti i calcoli.

Ora dobbiamo fare l'ipotesi per il caso in cui si sia scelto il punto B. Abbiamo i nostri nuovi punti:

• $p(x_{1}+1,y_{1}+1)$;
• $M(x_{1}+2,y_{1}+1+{1 \over 2})=M(x_{1}+2,y_{1}+{3 \over 2})$;

e il nostro nuovo valore $d$:

$d_{new}=-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {3}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+2)+\Delta x\cdot q$

Ripetiamo la sottrazione:

$d_{new}-d_{old}=-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {3}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+2)+\Delta x\cdot q-\left(-\Delta x\cdot \left(y_{1}+{\frac {1}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{1}+1)+\Delta x\cdot q\right)$

Semplificando otteniamo:

$d_{new}-d_{old}=-\Delta x+\Delta y$

Riassumendo, dato un valore $d_{i}$:

$d_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}d_{i}-\Delta x+\Delta y,&{\mbox{se }}d_{i}>0\\d_{i}+\Delta y,&{\mbox{se }}d_{i}<0\end{matrix}}\right.$

Non ci rimane che conoscere il valore $d_{0}$; ricordandoci la formula per calcolare $d$ e prendendo come punto $p$, $p_{0}(x_{0},y_{0})$ ovvero un estremo della retta, abbiamo:

$d=-\Delta x\cdot \left(y_{0}+{\frac {1}{2}}\right)+\Delta y\cdot (x_{0}+1)+\Delta x\cdot q=-\Delta x\cdot y_{0}+\Delta y\cdot x_{0}+\Delta x\cdot q+\left(-{\frac {\Delta x}{2}}+\Delta y\right)$

Nel passaggio abbiamo portato fuori i valori $+1/2$ e $+1$. La prima parte della formula corrisponde all'equazione della retta applicata ad un punto della retta, quindi sappiamo che sarà uguale a zero. Infine ci rimane:

$d_{0}=-{\frac {\Delta x}{2}}+\Delta y$

Algoritmo

Da tutte queste formule possiamo finalmente ricavare l'algoritmo: Dati due punti $p_{1}$ e $p_{2}$, con coordinate (x₁,y₁) e (x₂,y₂):

DX = x2 - x1
DY = y2 - y1

//il nostro valore d0
d = - 1/2 * DX + DY

//assegna le coordinate iniziali
x = x1
y = y1
disegna_il_punto(x, y)

while x < x2 {
       if (d >= 0) {
        d = d -DX + DY;
        y = y + 1;
        x = x + 1;
       }
       else {
        d = d + DY;
        x = x + 1;
       }
       disegna_il_punto(x, y)
}

Notiamo che l'algoritmo presenta dei numeri in virgola mobile, i quali richiedono risorse computazionali, un'idea per evitare questa precisione è quella di raddoppiare i valori di $d$:

DX = x2 - x1
DY = y2 - y1

//il nostro valore d0
d = - DX + 2 * DY

//assegna le coordinate iniziali
x = x1
y = y1
disegna_il_punto(x, y)

while x < x2 {
       if (d >= 0) {
        d = d -2 * DX + 2 * DY;
        y = y + 1;
        x = x + 1;
       }
       else {
        d = d + 2 * DY;
        x = x + 1;
       }
       disegna_il_punto(x, y)
}

Abbiamo quindi ottenuto un algoritmo che lavora con numeri interi e semplice da implementare. Nel caso in cui avessimo x₁>x₂ allora al posto di aumentare $x$ lo diminuiamo mentre i valori decisionali restano uguali, anche se y₁>y₂ i valori decisionali non variano, in quanto la retta assume pendenza di valore opposto a quello del caso y₁<y₂ e x₁<x₂, cambia solo l'incremento della $y$ che invece di aumentare, diminuisce, e il valore decisionale resta invariato, in quanto trattiamo la retta sia se x₁>x₂ sia se y₁>y₂ come se fosse nel primo caso studiato, nel primo caso sia DX che DY sono maggiori di zero allora prenderemo il valore assoluto, di seguito ricaviamo l'algoritmo:

DX = x2 - x1
DY = y2 - y1

//per non scrivere sempre i valori assoluti cambio DY e DX con altre variabili
a=abs(DY)
b=-abs(DX)

//il nostro valore d0
d = 2*a+b
//assegna le coordinate iniziali
x = x1
y = y1
disegna_il_punto(x, y)

//s e q sono gli incrementi di x e y
s=1
q=1
if (x1>x2) q=-1
if (y1>y2) s=-1

while x < x2 {
       if (d >= 0) {
        d = 2 * (a + b) + d
        y = y + s;
        x = x + q;
       }
       else {
        d = 2 * a + d;
        x = x + q;
       }
       disegna_il_punto(x, y)
}

Con questo abbiamo ottenuto le rette con valore di $|m|<1$. Con valore di $|m|>1$ dobbiamo fare delle modifiche perché |DY/DX|>1 e questo accade quando DY>DX in questo caso l'approssimazione della linea con l'algoritmo che abbiamo trovato è pessima, visto che viene trattato solo DX come loop, dobbiamo generalizzare l'algoritmo nei casi in cui possiamo avere DY>DX. Se ruotiamo la retta di 90 gradi possiamo notare che è come se dovessimo applicare lo stesso algoritmo precedente con la coordinata dei due punti da scegliere x invece che $y$, allora in questo caso trattiamo DY come DX e DY come DX, basta quindi scambiare DX e DY e rimanere i valori decisionali invariati, nel loop possiamo avere DX>DY oppure DY>DX ma siccome scambiamo sarà sempre DX>DY, poi nel caso in cui d>=0 avremo che entrambe le coordinate aumentano o diminuiscono di 1, quindi questo caso rimane uguale, cambia invece il caso in cui $d<0$ in questo caso infatti dobbiamo decidere se aumentare solo $x$ o solo $y$ in base al caso che abbiamo. Nel caso normale si aumenta $x$, nel caso DY>DX si scambiano e si aumenta $y$, da questa logica possiamo ricavare l'algoritmo per linee generali che è il seguente:

swap = 0;
DX = x2 - x1;
DY = y2 - y1;

//siccome scambio DY e DX ho sempre DX>=DY allora per sapere quale coordinata occorre cambiare uso una variabile
if (abs(DX) < abs(DY)) {
   swap(DX, DY);
   swap = 1;
}

//per non scrivere sempre i valori assoluti cambio DY e DX con altre variabili
a = abs(DY);
b = -abs(DX);

//assegna le coordinate iniziali
x = x1;
y = y1;

//il nostro valore d0
d = 2 * a + b;

//s e q sono gli incrementi/decrementi di x e y
q = 1;
s = 1;
if (x1 > x2) q = -1;
if (y1 > y2) s = -1;
disegna_punto(x, y);
disegna_punto(x2, y2);
for (k = 0; k < -b; k+=1) {
   if (d > 0) {
       x= x + q; y= y + s;
       d= d + 2 * (a + b);
   }
   else {
       x = x + q;
       if (swap==1) { y = y + s; x = x - q; }
       d = d + 2 * a;
   }
   disegna_punto(x, y);
}

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