Tavola di mortalità

La tavola di mortalità è uno strumento per l'analisi statistica della mortalità.

Descrive per singole generazioni (a seconda della disponibilità dei dati anche singoli anni di nascita) l'andamento del numero di sopravvissuti dal momento della nascita fino alla morte dell'ultimo.
Trattandosi di uno strumento di analisi non rappresenta il numero effettivo di persone viventi in dato territorio, ma astrae tenendo conto di eventi non fisiologici quali ad esempio le migrazioni, eventi bellici o catastrofi naturali.

Si tratta di uno strumento fondamentale nell'ambito delle assicurazioni sulla vita e la demografia in generale.

Ricordando che:

Concetti di base della tavola di mortalità sono:

la funzione di sopravvivenza $\ S(t)=1-F_{0}(t)$ ;
la probabilità di morte q_x, che indica la probabilità di morire entro un anno (o altro intervallo di tempo di riferimento) che ha una persona di anni x:

$q_{x}=F_{x}(t)=P({T_{x}}\leqslant {t})=\int _{0}^{t}{f_{x}(u)du}$

la probabilità di sopravvivenza p_x è il complementare di q_x (p_x+q_x=1), e indica la probabilità che una persona di anni x sia ancora viva un anno dopo;
i sopravviventi l_x, rappresenta la probabilità che una persona sia ancora viva x anno dopo la nascita. Vale la seguente relazione con la probabilità di morte: $l_{x+1}=l_{x}-l_{x}\ q_{x}$

In questo ambito si calcolano

i decessi: $d_{x}=l_{x}\ q_{x}=l_{x}-l_{x+1}$
gli anni vissuti: $L_{x}={\frac {l_{x}+l_{x+1}}{2}}=l_{x+1}+{\frac {1}{2}}d_{x}$ (formula valida per x>0)
la retrocumulata dei sopravviventi, una serie definita come $\ N_{x}=l_{x+1}+l_{x+2}+l_{x+3}+...$
la retrocumulata degli anni vissuti, una serie definita come $\ T_{x}=L_{x}+L_{x+1}+L_{x+2}+L_{x+3}+...$
la speranza di vita (o vita media) residua: ${\overline {e}}_{x}={\frac {\int _{0}^{\infty }{S(x+t)}}{S(x)}}$ , dove $\ e_{0}$ rappresenta la speranza di vita alla nascita
l'età mediana alla morte (o durata di vita probabile): $\ \pi _{x}=med(T_{x})$ è per i $l_{x}$ sopravviventi all'età x, l'età in cui il numero di sopravviventi si dimezza
il tasso di mortalità $m_{x}={\frac {d_{x}}{L_{x}}}={\frac {l_{x}\ q_{x}}{L_{x}}}=$ , da cui $q_{x}={\frac {2m_{x}}{2+m_{x}}}$