Tensore metrico

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il tensore metrico è un tensore che caratterizza la geometria di uno spazio, intervenendo nella definizione di distanza. Definiamo infatti prodotto scalare tra due vettori la quantità

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{i}g^{ij}y_{j}$

dove $g^{ij}$ è la componente della i-esima riga e la j-esima colonna della matrice rappresentante il tensore metrico, $x_{i}$ ed $y_{j}$ rispettivamente la i-esima componente del vettore x e la j-esima componente del vettore y ed ho usato la notazione di Einstein secondo cui sugli indici ripetuti si somma; definiamo poi norma di un vettore (o modulo) la quantità

$|\mathbf {x} |=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}=\left(x_{i}g^{ij}x_{j}\right)^{1/2}$

e distanza tra due vettori la quantità

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |=(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {y} )$

Vediamo quindi che la distanza dipende dal prodotto scalare, il quale coinvolge al suo interno il tensore $g^{ij}$, che chiamiamo metrico proprio per le sue implicazioni sul concetto di misura delle distanze.

Facciamo alcuni esempi: nello spazio euclideo ad n componenti, cioè quello che normalmente noi rappresentiamo, in cui le rette parallele non si incontrano (cioè vale il V postulato di Euclide), il tensore metrico altro non è che la matrice identità, cioè

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&1\end{matrix}}\right)$

ed il prodotto scalare assume quindi la forma che conosciamo bene:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}$

Nello spazio di Minkowski a quattro dimensioni usato per la relatività speciale, il tensore metrico ha la seguente forma:

$g^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$

ed il prodotto scalare si può scrivere quindi come (indicando con l'indice 0 la componente temporale, e con 1,2,3 le tre componenti spaziali)

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}$

Se indichiamo con $x^{\mu }$ la quantità

$x^{\mu }=g^{\mu \nu }x_{\nu }$

(in soldoni, il nuovo vettore avrà semplicemente le componenti spaziali cambiate di segno) possiamo scrivere il prodotto scalare come

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x^{\mu }y_{\mu }\equiv g^{\mu \nu }x_{\nu }y_{\mu }$

In relatività generale, il tensore metrico non ha una forma semplice come le due viste precedentemente, ma le proprietà geometriche restano e perciò i vettori utilizzano le stesse regole di trasformazione.

(Per approfondimenti cfr. tensore)