Relazione simmetrica: differenze tra le versioni
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Una relazione di simmetria che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione di equivalenza]]. |
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--[[Speciale:Contributi/95.238.138.148|95.238.138.148]] ([[User talk:95.238.138.148|msg]]) 10:26, 2 ott 2012 (CEST)== Relazioni asimmetriche == |
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Una relazione ''R'' in ''X'' è ''' |
Una relazione ''R'' in ''X'' è '''asimmetrica''' se e solo se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' allora ''b'' non è in relazione con ''a''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \; \lnot(b R a)</math> |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \; \lnot(b R a)</math> |
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Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è |
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche. |
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== Relazioni |
== Relazioni antisimmetriche == |
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Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece ''' |
Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece '''antisimmetrica''' se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' e ''b'' è in relazione con ''a'', allora ''a'' = ''b''. In simboli: |
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:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
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Un esempio di relazione |
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> è che ''a'' e ''b'' siano uguali. |
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Anche la [[disuguaglianza]] stretta è asimmetrica; essendo infatti ''a'' < ''b'' e ''b'' < ''a'' impossibile, l'asimmetria in questa relazione è una verità vuota. |
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Una relazione asimmetrica che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione d'ordine]] debole (detta anche ''relazione d'ordine parziale'', in inglese ''poset'').<br /> |
Una relazione asimmetrica che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione d'ordine]] debole (detta anche ''relazione d'ordine parziale'', in inglese ''poset'').<br /> |
Versione delle 17:08, 21 ott 2012
In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è simmetrica se e solo se, presi due elementi qualsiasi a e b, vale che se a è in relazione con b allora anche b è in relazione con a. In simboli:
Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è.
Una relazione di simmetria che è anche transitiva e riflessiva è una relazione di equivalenza.
--95.238.138.148 (msg) 10:26, 2 ott 2012 (CEST)== Relazioni asimmetriche ==
Una relazione R in X è asimmetrica se e solo se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b allora b non è in relazione con a. In simboli:
Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è asimmetrica; l'asimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né asimmetriche.
Relazioni antisimmetriche
Una relazione R in X è detta invece antisimmetrica se, presi comunque due elementi a e b in X, se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a = b. In simboli:
Un esempio di relazione antisimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga e è che a e b siano uguali.
Una relazione asimmetrica che è anche transitiva e riflessiva è una relazione d'ordine debole (detta anche relazione d'ordine parziale, in inglese poset).
Dire che una relazione è antisimmetrica e irriflessiva è equivalente a dire che è asimmetrica.
Si noti che l'asimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non asimmetriche (come la congruenza modulo n), relazioni asimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che asimmetriche (come l'uguaglianza) o né simmetriche né asimmetriche (la divisibilità fra interi).