Insieme positivo e insieme negativo

In matematica, un insieme si dice positivo (rispettivamente negativo) rispetto alla misura con segno $\mu$ se ogni suo sottoinsieme ha misura non negativa (rispettivamente non positiva).

Definizione

Formalmente, sia dato uno spazio di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$, con $X$ insieme diverso dal vuoto, ${\mathfrak {F}}$ una σ-algebra di sottoinsiemi di X e $\mu :{\mathfrak {F}}\longrightarrow \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ è una misura con segno.

• Dato un insieme $E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X$, esso si dice positivo se ogni insieme $E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}$ è tale che $\mu (E^{*})\geq 0.$

In modo analogo è possibile definire un insieme negativo:

• Dato un insieme $E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X$, esso si dice negativo se ogni insieme $E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}$ è tale che $\mu (E^{*})\leq 0.$

Osservazioni

L'insieme positivo (negativo) non deve essere in alcun modo confuso con insieme di misura positiva (negativa).

Proprietà

1. L'insieme vuoto è sia un insieme negativo che positivo.
2. Ogni sottoinsieme di un insieme positivo (negativo) è ancora positivo (negativo).
3. L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) disgiunti è positiva (negativa).

Le proprietà 2. e 3. implicano che

4.L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) è ancora positiva (negativa)