Visualizza wikitesto di Filtro m-derivato

I '''filtri m-derivati''' o '''filtri di tipo m''' sono un tipo di [[Filtro (elettronica)|filtri elettronici]] progettati utilizzando il metodo delle [[Impedenza immagine|impedenze immagine]]. Essi sono stati ideati da [[Otto Zobel]] nei primi anni 1920.<ref>[[Vitold Belevitch|Belevitch, V]], "Summary of the history of circuit theory", ''Proceedings of the IRE'', '''vol 50''', Iss 5, pp.849, May 1962.</ref> Questo tipo di filtri, in origine, era destinato per l'uso con la [[multiplazione]] telefonica ed era un miglioramento dell'esistente [[Filtro a costante k|filtro di tipo a costante k]].<ref>Bray, J, ''Innovation and the Communications Revolution'', p.62, Institute of Electrical Engineers, 2002 {{ISBN|0-85296-218-5}}.</ref> Il problema principale da affrontare era la necessità di ottenere un migliore [[Adattamento di impedenza|adattamento]] del filtro nelle impedenze di terminazione. In generale, tutti i filtri progettato con il metodo delle impedenze immagine non riescono a dare un adattamento esatto, ma il filtro di tipo m, con un'opportuna scelta del parametro m, rappresenta un grande miglioramento. La sezione del filtro di tipo m ha un ulteriore vantaggio in quanto c'è una transizione rapida dalla [[frequenza di taglio]] della [[banda passante]] a un [[Polo (analisi complessa)|polo]] di [[attenuazione]] appena dentro la banda da eliminare. Nonostante questi vantaggi, c'è un inconveniente con i filtri di tipo m; alle frequenze oltre il polo di attenuazione, la risposta riprende a crescere e i filtri di tipo m ha una scarsa reiezione della banda da eliminare. Per questa ragione, i filtri progettati utilizzando sezioni di tipo m sono spesso progettati come [[Filtro immagine composto|filtri composti]] con una miscela di sezioni di tipo k e di tipo m e valori diversi di m in punti diversi per ottenere le prestazioni ottimali da entrambi i tipi.<ref>Zobel, pp. 16–19.</ref>
{{clear|right}}
{| class="toccolours" style="float: right; margin-left: 1em;; background:#c6dbf7; color:black; width:21em; max-width: 40%;" cellspacing="5"
|-
| style="text-align: center;"|m per '''midpoint impedance''', cioè impedenza da punto centrale a punto centrale <br/> <small>(per comprendere meglio il significato dell'espressione "da punto centrale a punto centrale", osservare lo schema nella figura presente [[Filtro di tipo mm'#Premesse|qui]])</small>
|-
|style="text-align: left; font-size: 90%;" |Il parametro '''m''' è indicato con questo simbolo in associazione con '''midpoint impedance''', che in [[Lingua inglese|inglese]] significa '''impedenza da punto centrale a punto centrale''', un concetto utilizzato da Zobel nel suo trattato originale sul filtro in oggetto. L'impedenza da punto centrale a punto centrale nasce nel modo seguente. In questo articolo e nella maggior parte dei libri di testo moderni, il punto di partenza è la semplice semisezione e filtri più complessi sono costruiti da questo. Nella trattazione di Zobel e in quella dei suoi contemporanei, il punto di partenza è sempre la [[rete a scaletta]] infinita. Una sezione "da punto centrale a punto centrale in serie" deriva dal "tagliare nel punto centrale" dell'impedenza in serie Z e si traduce in una sezione a T. L'[[impedenza immagine]] Z<sub>iT</sub> è indicata come impedenza immagine da punto centrale a punto centrale in serie. Analogamente, una sezione "da punto centrale a punto centrale in [[Deviatore di corrente|shunt]]" deriva dal tagliare nel punto centrale dell'ammettenza in [[Deviatore di corrente|shunt]] Y e si traduce in una sezione a Π (pi greco) con una impedenza immagine da punto centrale a punto centrale in [[Deviatore di corrente|shunt]]. Dire "sezione m-derivata in serie" è un'abbreviazione per "mid-series derived ladder type section", che in [[Lingua inglese|inglese]] significa "sezione di tipo [[Rete a scaletta|a scaletta]] derivata (ottenuta da un taglio) da punto centrale a punto centrale in serie". Ciò fa capire che la parola ''serie'' si riferisce alle estremità della sezione a T, le quali costituiscono le due metà e possono essere considerate come componenti in serie, e non come a volte si pensa, perché il componente aggiuntivo è in serie con l'elemento in [[Deviatore di corrente|shunt]]. Analogamente, "sezione m-derivata in [[Deviatore di corrente|shunt]]" è un'abbreviazione per "mid-shunt derived ladder type section", che in [[Lingua inglese|inglese]] significa "sezione di tipo [[Rete a scaletta|a scaletta]] derivata (ottenuta da un taglio) da punto centrale a punto centrale in [[Deviatore di corrente|shunt]]".<ref>Zobel, O J, ''Electrical wave filters'', [https://patents.google.com/patent/US1850146 U.S. Patent 1,850,146], pp. 2–3, depositato il 25 novembre 1930, emesso il 22 marzo 1932.</ref>
|}

== Premesse ==
Zobel brevettò una rete di adattamento di impedenza nel 1920<ref>Zobel, O J, ''Terminating network for filters'', [https://patents.google.com/patent/US1557229 U.S. Patent 1,557,229], depositato il 30 aprile 1920, emesso il 13 ottobre 1925.</ref> 
che, in sostanza, utilizzava la topologia di quelli che ora vengono chiamati filtri di tipo m, ma Zobel non li denominò come tali, né li analizzaò con il metodo delle [[Impedenza immagine|impedenze immagine]]. Questo precede la pubblicazione di [[George Ashley Campbell|George Campbell]] del suo progetto di tipo [[Filtro a costante k|a costante k]] nel 1922 su cui si basa il filtro di tipo m.<ref>Campbell, G A, "Physical Theory of the Electric Wave-Filter", ''Bell System Tech J'', November 1922, vol 1, no 2, pp. 1–32.</ref> Zobel pubblicò la teoria dell'analisi delle [[Impedenza immagine|impedenze immagine]] dei filtri di tipo m nel 1923.<ref>Zobel, O. J.,''Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters'', Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.</ref> Un tempo popolari, i filtri di tipo m e, in generale, i filtri progettati con parametri immagine vengono ora progettati raramente, essendo stati sostituiti dai più avanzati metodi di [[Filtro a sintesi di rete|sintesi di rete]].<ref>Roberto Sorrentino, ''Electronic filter simulation & design'', p. 57, McGraw-Hill Professional, 2007 {{ISBN|0-07-149467-7}}.</ref>

== Derivazione ==
[[File:M-Derived Series Filter Half-section.svg|thumb|right|250px|Generica semisezione di filtro in serie m-derivato.]]
[[File:M-Derived Shunt Low-pass Filter Half-section.svg|thumb|right|250px|Semisezione di filtro passa-basso in [[Deviatore di corrente|shunt]] m-derivato.<br><math>C= \frac{L}{R_0^2}</math>]]

L'elemento costitutivo dei filtri m-derivati, come con tutti i filtri progettati con il metodo delle [[Impedenza immagine|impedenze immagine]], è la rete a "L", chiamata semisezione e composta da un'[[impedenza]] ''Z'' in serie e un'[[ammettenza]] ''Y'' in [[Deviatore di corrente|shunt]]. Il filtro m-derivato discende dal [[filtro a costante k]]. Il punto di partenza del progetto è rappresentato dai valori di ''Z'' e ''Y'', derivanti dal [[Filtro prototipo|prototipo]] a costante k, che sono dati da:

: <math>k^2=\frac{Z}{Y}</math>

dove ''k'' è l'impedenza nominale del filtro, o ''R''<sub>0</sub>. A questo punto, il progettista moltiplica ''Z'' e ''Y'' per una costante arbitraria ''m'' (0 < ''m'' < 1). Ci sono due tipi diversi di sezione m-derivata: serie e [[Deviatore di corrente|shunt]]. Per ottenere la semisezione m-derivata in serie, il progettista determina l'impedenza che deve essere aggiunta a 1/mY per rendere l'impedenza immagine ''Z''<sub><code>iT</code></sub> la stessa dell'impedenza immagine della sezione originale a costante k. Dalla [[Impedenza immagine#Derivazione|formula generale per le impedenze immagine]], si può dimostrare che l'impedenza aggiuntiva richiesta è:<ref>Matthaei, p. 64.</ref>

: <math>\frac{1-m^2}{m}Z.</math>

Per ottenere la semisezione m-derivata in [[Deviatore di corrente|shunt]], viene aggiunta un'ammettenza a 1/mZ per rendere l'impedenza immagine Z<sub><code>iΠ</code></sub> la stessa dell'impedenza immagine della semisezione originale. Si può dimostrare che l'ammettenza aggiuntiva richiesta è:<ref>Matthaei, p.66.</ref>

: <math>\frac{1-m^2}{m}Y.</math>

Le disposizioni generali di questi circuiti sono mostrate negli schemi a destra insieme a un esempio specifico di una sezione passa-basso.

Una conseguenza di questa progettazione è che la semisezione m-derivata corrisponderà (dal punto di vista dell'adattamento di impedenza) a una sezione di tipo k solo su un lato. Inoltre, una sezione di tipo m con un valore di m non corrisponderà a un'altra sezione di tipo con un altro valore di m tranne che sui lati che offrono l'impedenza Z<sub><code>i</code></sub> del tipo k.<ref name=Matt65>Matthaei, p. 65.</ref>

=== Frequenza operativa ===
Per la semisezione passa-basso mostrata, la frequenza di taglio (in [[Lingua inglese|inglese]] ''cut-off frequency'') del filtro di tipo m è la stessa di quella del tipo k ed è data da:

: <math>\omega_c=\frac{1}{\sqrt{LC}}.</math>

Il polo di attenuazione si ha per:

: <math>\omega_\infin=\frac{\omega_c}{\sqrt{1-m^2}}.</math>

Da ciò è chiaro che valori più piccoli di m produrranno una <math>\omega_\infin</math> più vicina alla frequenza di taglio <math>\omega_c\,\!</math> e quindi daranno luogo a un taglio più netto. Nonostante questo taglio, ciò porta anche la risposta indesiderata di eliminazione di banda del tipo m più vicina alla frequenza di taglio, rendendo più difficile il filtraggio con le sezioni successive. Il valore di m scelto è solitamente un compromesso tra questi requisiti in conflitto tra loro. C'è anche un limite pratico a quanto piccolo possa essere reso m dovuto alla resistenza intrinseca degli induttori. Ciò ha l'effetto di far sì che il polo di attenuazione sia meno profondo (cioè non è più un vero polo in cui si ha un infinito) e che la pendenza del taglio sia meno ripida. Questo effetto diviene più marcato man mano che <math>\omega_\infin</math> si avvicina a <math>\omega_c\,\!</math> e non c'è più alcun miglioramento nella risposta con un m di circa 0,2 o meno.<ref name=Matt65/><ref>Bode, Hendrik W., ''Wave Filter'' [https://patents.google.com/patent/US2002216 U.S. Patent 2,002,216], p. 1 c. 1 ll.14–26, depositato il 7 giugno 1933, emesso il 21 maggio 1935.</ref><ref>Alan Keith Walton, ''Network analysis and practice'', pp. 197, 203, Cambridge University Press, 1987 {{ISBN|0-521-31903-X}}.</ref>

=== Impedenza immagine ===
{{Vedi anche|Impedenza immagine#Derivazione}}
[[File:M-Derived Low-pass Image Impedance.svg|thumb|right|300px|Impedenza immagine Z<sub>iTm</sub> di un filtro passa-basso prototipo m-derivato in [[Deviatore di corrente|shunt]] per vari valori di ''m''. I valori al di sotto della frequenza di taglio sono mostrati solo per maggiore chiarezza.]]
Le seguenti espressioni per le impedenze immagine sono tutte riferite alla sezione del prototipo passa-basso. Esse sono scalate all'impedenza nominale ''R''<sub>0</sub> = 1 e le frequenze in queste espressioni sono tutte scalate alla frequenza di taglio ω<sub>c</sub> = 1.

==== Sezioni in serie ====
Le impedenze immagine della sezione in serie sono date da:<ref name=Matt63>Matthaei, p. 63.</ref>

: <math>Z_{iT}=\sqrt{1-\omega^2}</math>

e sono le stesse rispetto alla sezione a costante k

: <math>Z_{i\Pi m}=\frac{1-\left(\omega/\omega_\infin\right)^2}{\sqrt{1-\omega^2}}.</math>

==== Sezioni in shunt ====
Le impedenze immagine della sezione in [[Deviatore di corrente|shunt]] sono date da:<ref name=Matt65/>

: <math>Z_{i\Pi}=\frac{1}{\sqrt{1-\omega^2}}</math>

e sono le stesse rispetto alla sezione a costante k

: <math>Z_{iT m}=\frac{\sqrt{1-\omega^2}}{1-\left(\omega/\omega_\infin\right)^2}</math>

Come accade con la sezione di tipo k, l'impedenza immagine della sezione passa-basso di tipo ''m'' è puramente reale al di sotto della frequenza di taglio e puramente immaginaria al di sopra. Dal grafico si può vedere che nella banda passante l'adattamento di impedenza più vicino a una terminazione a resistenza pura costante si verifica a circa ''m'' = 0,6.<ref name=Matt63/>

=== Parametri di trasferimento ===
{{Vedi anche|Impedenza immagine#Funzione di trasferimento}}
[[File:M-Derived Low-pass Transfer Function (1 Half-section).svg|thumb|right|300px|Funzione di trasferimento di un filtro passa-basso m-derivato per una semisezione singola.]]
Nel caso delle sezioni m-derivate, in generale, i [[Costante di propagazione|parametri di propagazione]] per una semisezione sono dati da:<ref name=Matt63/>

:<math>\gamma=\sinh^{-1}\frac{mZ}{\sqrt{k^2+(1-m^2)Z^2}}</math>

e per n semisezioni:

:<math>\gamma_n=n\gamma\,\!</math>

Nel caso del particolare esempio della sezione a L  passa-basso, i parametri di propagazione si risolvono diversamente in tre bande di frequenza.<ref name=Matt63/>

Per <math>0<\omega<\omega_c\,\!</math> la propagazione è senza perdite:

: <math>\gamma = \alpha + i\beta = 0 + i\frac{1}{2} \cos^{-1} \left(1-\frac{2m^2} {\left(\frac{\omega_c}{\omega}\right)^2 - \left(\frac{\omega_c}{\omega_{\infin}} \right)^2} \right)</math>

Per <math>\omega_c<\omega<\omega_\infin</math> i parametri di propagazione sono:

: <math>\gamma = \alpha + i\beta = \frac{1}{2} \cosh^{-1} \left(\frac{2m^2}{\left(\frac{\omega_c}{\omega}\right)^2 - \left( \frac{\omega_c}{\omega_{\infin}} \right)^2} - 1 \right) + i\frac{\pi}{2}</math>

Per <math>\omega_\infin<\omega<\infin</math> i parametri di propagazione sono:

: <math>\gamma = \alpha + i\beta = \frac{1}{2} \cosh^{-1} \left(1-\frac{2m^2}{\left(\frac{\omega_c}{\omega}\right)^2 - \left( \frac{\omega_c}{\omega_{\infin}}\right)^2} \right) +i0</math>

=== Trasformazioni del prototipo ===
I grafici mostrati relativi all'impedenza immagine, all'attenuazione e al cambiamento di fase sono i grafici di una sezione di [[filtro prototipo]] passa-basso. Il prototipo ha frequenza di taglio ω<sub>c</sub> = 1 rad/s e impedenza nominale R<sub>0</sub> = 1 Ω. Ciò viene ottenuto mediante una semisezione di filtro per la quale L = 1 henry e C = 1 farad. Questo prototipo può essere [[Filtro prototipo#Scalatura in impedenza|scalato in impedenza]] e [[Filtro prototipo#Scalatura in frequenza|scalato in frequenza]] ai valori desiderati. Il prototipo [[Filtro passa basso|passa-basso]] può anche essere trasformato nei tipi [[Filtro passa alto|passa-alto]], [[Filtro passa banda|passa-banda]] o [[Filtro elimina banda|elimina-banda]] mediante l'applicazione di opportune [[Filtro prototipo#Trasformazione di forma di banda|trasformazioni in frequenza]].<ref>Matthaei, pp. 60–61 (LPF), 412 (HPF), 438-439 (BPF).</ref>

== Sezioni in cascata ==
Diverse semisezioni a L possono essere collegate in cascata per formare un [[Filtro immagine composto|filtro composto]]. In queste combinazioni, le impedenze simili devono sempre essere rivolte una verso l'altra. Ci sono perciò due circuiti che si possono formare con due semisezioni a L identiche. Quando Z<sub><code>iT</code></sub> è rivolta verso Z<sub><code>iT</code></sub>, la sezione è chiamata sezione a <code>Π</code> (pi greco). Quando Z<sub><code>iΠ</code></sub> è rivolta verso Z<sub><code>iΠ</code></sub> la sezione formata è una sezione a T. Ulteriori aggiunte di semisezioni a ciascuna di queste formano una [[rete a scaletta]] che può iniziare e terminare con elementi in serie o in [[Deviatore di corrente|shunt]].<ref>''Redifon Radio Diary, 1970'', pp. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.</ref>

Va tenuto presente che le caratteristiche del filtro previste dal metodo delle [[Impedenza immagine|impedenze immagine]] sono accurate solo se la sezione viene terminata con la sua impedenza immagine. Questo di solito non è vero per le sezioni a entrambe le estremità, che di solito sono terminate con una resistenza fissa. Più la sezione è lontana dall'estremità del filtro, più accurata sarà la previsione poiché gli effetti delle impedenze di terminazione sono mascherati dalle sezioni intermedie. Solitamente si utilizzano semisezioni alle estremità del filtro con m = 0,6 poiché questo valore fornisce la Z<sub><code>i</code></sub> più piatta nella banda passante e quindi il migliore adattamento per una terminazione resistiva.<ref>Matthaei, pp. 72–74.</ref>

{{Sezioni di filtri immagine}}

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*Mathaei, Young, Jones ''Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures'' McGraw-Hill 1964 (1980 edition is {{ISBN|0-89006-099-1}}).

Per una semplice trattazione, dal punto di vista dell'analisi, vedere:
*Ghosh, Smarajit, ''Network Theory: Analysis and Synthesis'', Prentice Hall of India, [https://books.google.com/books?id=bYbP7rfG2YYC&pg=RA1-PA564 pp. 564–569] 2005 {{ISBN|81-203-2638-5}}.

== Voci correlate ==
*[[Impedenza immagine]]
*[[Filtro a costante k]]
*[[Filtro immagine generico di tipo mn|Filtro immagine generico di tipo m<sub>n</sub>]]
*[[Filtro di tipo mm']]
*[[Filtro immagine composto]]

{{portale|elettronica|elettrotecnica}}

[[Categoria:Filtri elettronici|m-derivato]]
[[Categoria:Elettronica analogica]]