Italiano: Il gruppo di simmetria con elementi (cardinalità . Ha 30 sottogruppi di cui 4 sottogruppi sono normali:
quello banale formato dalla sola identità,
il gruppo di Klein V, vale a dire le trasposizioni pari con quoziente S3,
l'intero gruppo S4
A4 che si identifica con le 4 rotazioni di 90° nel piano e comprende l'identità (gruppo ciclico ).
I tipi di cicli in sono: (1)(2)(3)(4), (a b), (a b c), (a b c d), (a b)(c d). L'azione del gruppo sull'insieme dei vertici X = {1,2,3,4} viene detta simmetria e preserva la seguente struttura geometrica:
Un sottogruppo è costituito dal gruppo diedrale di ordine 8 (), cioè il gruppo delle rotazioni e delle riflessioni simmetriche di un quadrato, infatti tali simmetrie permutano i 4 vertici del quadrato. (vedi immagine in alto che illustra tali operazioni in dettaglio)
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