Utente:Giuliano Curti/Sandbox

GLOSSARIO DI TEORIA DEI GRUPPI
Un gruppo è una struttura algebrica costituita da:

• un insieme munito di una operazione binaria associativa;
• dotato di un elemento neutro chiamato e;
• tale che ogni elemento possiede un inverso;

se l'operazione è anche commutativa il gruppo viene detto commutativo o abeliano in onore del matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Esempi di gruppi fondamentali sono i diversi insiemi numerici (interi, interi relativi, rzionali, reali, complessi, ecc.) muniti di operazioni binarie, ad es. l'addizione, il prodotto, l'elevamento a potenza; altri esempi di gruppi molto importanti sono le trasformazioni geometriche.

In un approccio astratto, dove l'operazione oggetto di studio non è direttamente collegata con le reali operazioni matematiche, può adoperarsi indifferentemente una nomenclatura additiva o moltiplicativa; nel primo caso l'operazione sarà chiamata somma o addizione, l'elemento neutro zero e l'elemento inverso opposto; nel secondo caso si parlerà di prodotto o moltiplicazione, l'elemento neutro sarà chiamato unità, identità o 1 e l'elemento inverso reciproco o appunto inverso.

Molto spesso l'elemento neutro, come useremo in questo articolo, è denotato con la lettera e; in letteratura si può trovare indicato anche con la lettera u.

Operazione, funzione, relazione

Molte operazioni o funzioni matematiche sono riducibili a relazioni (sinonimo: mapping) fra elementi di insiemi, l'insieme di origine è detto "dominio", quello di destinazione "codominio", questo è l'insieme delle "immagini" (così sono chiamati gli elementi di destinazione), il dominio è l'insieme delle "controimmagini" (così sono chiamati gli elementi di partenza). Nella definizione di una funzione esiste un solo vincolo: per ogni elemento l'immagine deve essere univoca. Detto $X$ il dominio e $Y$ il codominio, l'espressione generica di una funzione è $f:X\to Y$; molto spesso si preferisce la formulazione $f(x)=y$ che indica la $y$ come immagine della $x$. Esempi di operazione sono la funzione $y=3x$ che associa ad ogni valore assumibile dalla $x$ il suo triplo; anche la funzione $y=x^{2}$ che associa ad ogni valore della $x$ il suo quadrato è un esempio di operazione; in questi casi il dominio ed il codominio coincidono, ma è un esempio assolutamente legittimo di operazione la funzione $y=\mathrm {Int} (x)$ in cui il dominio è l'insieme dei numeri reali $R$ e il codominio è l'insieme degli interi relativi $Z$. Un'operazione definita su un insieme può avere diverse proprietà: ad es. può essere "iniettiva" o "suriettiva"; se possiede entrambe le proprietà è detta "biunivoca".

Iniettività

Una operazione definita su un insieme viene detta "iniettiva" se ad ogni elemento corrisponde una imagine diversa; questa proprietà può essere letta al contrario esprimendo la condizione che due immgini diverse hanno certamente due controimmagini diverse; la funzione $y=3x$ è iniettiva in quanto certamente si ha $3\times 1\neq 3\times 2$; la funzione $y=x^{2}$ non lo è in quanto sia $(-x)^{2}$ che $x^{2}$ hanno la stessa immagine.

Suriettività

Una operazione definita su un insieme viene detta 'suriettiva' se ad ogni elemento del codominio (immagine) corrisponde un elemento del dominio (controimagine); ad es. la funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tale che $y=2x$ è suriettiva perché per ogni $y$ di $\mathbb {R}$ esiste un elemento $y/2=x$ che ne è controimmagine; la stessa operazione seguita in $\mathbb {N}$ non è suriettiva in quanto vi sono elementi di $\mathbb {N}$, tipo 3, 5, 9, ecc. che non hanno controimagini in $\mathbb {N}$. Molto spesso in situazione non suriettive si opera un restringimento del codominio estraendone le sole immagini di $X$, cioè se l'appliczione $f:X\to Y$ risulta non suriettiva, si genera il sottonsieme di $Y$ $Y'=f(X)$; l'applicazione $f:X\to Y'$ è suriettiva; nell'esempio precedente se restringiamo l'immagine a $P$ (insieme dei numeri interi pari), l'applicazione $f:\mathbb {N} \to P$ definita da $y=2x$ è suriettiva.

Corrispondenza Biunivoca

Un'applicazione può avere contemporaneamente le seguenti prerogative:

• ogni elemento del dominio $X$ ha immagine nel codominio $Y$;
• se è iniettiva elementi diversi hanno immagini diverse;
• se è suriettiva ogni elemento del codominio $Y$ ha controimagine nel dominio $X$;

in tal caso rappresenta una corrispondenza biunivoca fra l'elemento $x$ e la sua immagine $y$; cioè si ha $f(x)=y$, ma anche $f^{-1}(y)=x$, cioè si ha l'applicazione inversa che consente di passare indifferentemente dalla controimagine all'immagine e viceversa. Esistono molti esempi di corrispondenza biunivoca, ad es. una retta rappresenta una applicazione biunivoca potendosi trovare l'immagine $y$ partendo dall'ascissa $x$ o viceversa partire dall'ordinata $y$ e trovare la controimmagine $x$; una parabola ad asse verticale $y=x^{2}$ rappresenta una relazione non biunivoca, in quanto non iniettiva, perchè sia $x$ che $-x$ hanno lo stessa immagine $y=x^{2}$, pertanto all'immagine corrispondono due controimmagini; in tali situazioni è comune l'operazione di ridefinire il dominio, ad esempio limitarlo al solo campo reale $x\geq 0$.

Operazione Binaria o legge di composizione

Se la relazione (link OPERAZIONE) viene stabilita fra una coppia $(a,b)$ di un prodotto cartesiano $A\times B$ ed elementi di un terzo insieme $C$, questa viene detta operazione binaria o legge di composizione (sinonimo: composition law); viene scritta normalmente nella forma $f:A\times B\to C$ ma viene usata anche la forma $f(a,b)=c$. Gli insiemi di partenza possono anche coincidere pertanto si avrà $f:A\times A\to C$ o $F:A^{2}\to C$; ma anche il terzo insieme puà coincidere con quelli di origine portanto si avrà $f:A^{2}\to A$. Esempi tipici di operazioni binarie sono le comuni "somma" dove si ha $a+b=c$ e "prodotto" $a\cdot b=c$. Le operazioni binarie presentano le stesse proprietà delle comuni relazioni: ad es. possono essere "iniettive", "suriettive" e "biunivoche".

Prodotto cartesiano

Se gli elementi vengono costruiti come coppie di elementi provenienti da insiemi diversi si ha il cosiddetto "prodotto cartesiano"; gli elementi sono indicati nomalmente come coppie $(a,b)$ dove a appartiene ad $A$ e $b$ appartiene a $B$; l'insieme delle coppie $(a,b)$ viene spesso indicato con la forma $A\times B$; se i due insiemi coincidono si ha $A\times A$ o $A^{2}$. In alcuni settori matematici (come in Algebra lineare) il concetto di coppia viene generalizzato ad un numero molteplice di elementi; questo nuovo ente, indicato comunemente con $n$-upla, viene espresso con $(a,b,...,n)$ appartiene a $\mathbb {R} ^{n}$.