erone:
newton:
funzioni inverse:
Algebra
Scomposizione, prodotti notevoli e simili
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Equazioni di primo grado
Dimostrazione formula risolutiva per equazioni di 2° grado
Dimostrazione "somma" e "prodotto"
Somma
Prodotto
Dimostrazione scomposizione di un trinomio
Segno di trinomio
Tabella casi di segno di trinomio
|
Δ>0 |
Δ=0 |
Δ<0
|
>0 |
x<x1 U x>x2 |
∀x∈ℝ, x≠x1 o 2 |
∀x∈ℝ
|
≥0 |
x<x1 U x>x2 |
∀x∈ℝ |
∀x∈ℝ
|
<0 |
x1<x<x2 |
mai verificata |
mai verificata
|
≤0 |
x1<x<x2 |
x=x1 o 2 |
mai verificata
|
Dimostrazioni segno di trinomio
Metodi risolutivi per equazioni di grado superiore al 2°
Equazioni binomie
Equazioni trinomie
Equazioni di 3° grado
Formula di Cardano-Tartaglia
Equazioni di 4° grado (WIP)
Formula di Eulero
Equazioni e disequazioni irrazionali
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Geometria analitica
Rette
Coniche
Parabola
La parabola è il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice.
Circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto detto centro; la distanza è il raggio.
Ellisse
La somma delle distanze tra un punto qualsiasi, appartenente al luogo geometrico chiamato ellisse, e i fuochi è costante.
Iperbole
La differenza delle distanze tra un punto qualsiasi, appartenente al luogo geometrico chiamato iperbole, e i fuochi è costante.
Goniometria e trigonometria
Logaritmi ed esponenziali
Numeri immaginari e complessi
Calcolo combinatorio e probabilità
Calcolo combinatorio
;
Probabilità
Definizione; Bayes...?
Prove ripetute di Bernoulli
Se su n tentativi k hanno successo, allora la probabilità di questi utlimi è uguale a:
Analisi infinitesimale
Limiti
Definizioni
- Limite finito per x che tende ad un valore finito
- Limite infinito per x che tende ad valore finito (asintoto verticale)
- Limite finito per x che tende ad infinito (asintoto orizzontale)
- Limite infinito per x che tende ad infinito
Teoremi dei limiti
Un limite, se esiste, è unico dato il fatto che il limite è un operatore.
Data una funzione contiua e il limite per che tende ad , l'intorno di questo punto avrà lo stesso segno del limite.
Date tre funzioni tali che valgono le seguenti relazioni:
e
allora:
Operazioni con i limiti
(vale la regola anche per un quoziente di funzioni)
Limiti notevoli
(se x è un angolo in radianti, altrimenti il risultato sarebbe )
Forme d'indecisione
Come risolverle
>vuoto pneumatico<
Continuità
Definizione
Una funzione per essere continua deve rispettare le seguenti condizioni:
Le funzioni algebriche intere sono continue in tutto ℝ, quelle razionali pure eccetto negli zeri del denominatore e infine quelle irrazionali sono continue nel loro dominio.
I logaritmi sono continui nel loro dominio, le esponenziali in tutto ℝ; le funzioni trascendenti rimanenti, quelle goniometriche, sono seno (continuo in tutto ℝ), coseno (continuo in tutto ℝ), tangente (continua in tutto ℝ tranne che nei punti ) e cotangente (continua in tutto ℝ tranne che nei punti ).
Teoremi delle funzioni continue
- Permanenza del segno
- Esistenza degli zeri
- Teorema di Bolzano
- Teorema di Weierstrass
Punti di discontinuità
I punti di discontinuità di una funzione possono essere di tre specie:
- Terza specie (nota anche come eliminabile)
(la funzione nel punto a non esiste), (il limite della funzione per x che tende ad a esiste ed ha un valore finito); oppure
(la funzione nel punto a esiste ed ha un valore finito), (il limite delle funzione per x che tende ad a esiste ed ha un valore finito), (ma i due sono diversi)
In questo caso la funzione si può prolungare con continuità nel punto a dando priorità al limite e imponendo la funzione uguale al valore ottenuto calcolandolo.
In questo caso il limite destro e sinistro esistono ed hanno valori finiti, ma sono diversi, questo significa che la funzione compie un salto nel punto a.
oppure
Asintoti (WIP)
Asintoto verticale
Asintoto orizzontale
Asintoto obliquo
Derivate
Definizione
Regole di derivazione
; linearità dell'operatore derivata
; formula di Leibniz
; quoziente di funzioni
; funzioni composte
Dimostrazioni:
q.e.d.
q.e.d.
Dimostrazione:
q.e.d.
aaahh...
Teoremi sulle funzioni derivabili
- Teorema di Lagrange (o del valor medio)
Considerando una funzione continua in un intervallo chiuso , derivabile in , allora esiste almeno un punto tale che:
- Teorema di Cauchy (o degli incrementi finiti)
Considerando due funzioni continue e in un intervallo chiuso , entrambe derivabili in , se e , allora esiste almeno un punto tale che:
Teorema di de l'Hôpital
Differenziale di una funzione
Integrali
Integrali indefiniti
Definizione
Data una funzione , sia allora:
dove è l'insieme delle primitive di e è una costante additiva.
Proprietà dell'operatore integrale
Essendo l'integrale l'operatore inverso della derivata, anch'esso gode della linearità:
Integrali immediati
; forma generalizzata:
; forma generalizzata: