Teorema giapponese

Un esempio di triangolazione di un poligono ciclico. Secondo il teorema giapponese, la somma dei raggi dei cerchi inscritti è costante.

In geometria piana, il cosiddetto teorema giapponese afferma che, qualsiasi sia la triangolazione di un poligono ciclico convesso, la somma dei raggi dei cerchi inscritti ai triangoli è costante. È anche vero l'inverso del teorema: se la somma dei raggi dei cerchi inscritti in una triangolazione risulta essere indipendente dalla triangolazione scelta, allora il poligono è ciclico e pertanto inscrivibile ad una circonferenza.

Storia

Il teorema giapponese compare per la prima volta tra le iscrizioni dei sangaku, tavolette di legno recanti incisi problemi e teoremi di geometria piana, che venivano offerte ai templi scintoisti, e più raramente a quelli buddisti, durante il periodo Edo giapponese (1603-1868). Molti dei sangaku sono andati perduti nel processo di modernizzazione che ha seguito il periodo Edo, ma attualmente ne sopravvivono circa 900 esemplari.

Si ritiene che le origini del teorema siano da ricercarsi in Cina, tanto che il primo nome con cui fu noto in Giappone era teorema cinese. Tuttavia, il matematico Ryokan Maruyama (1757-1816) trascrisse il teorema su un sangaku che offrì ad un tempio scintoista nel 1800: per questo, ai tempi il teorema era conosciuto anche col nome di teorema di Maruyama. Nel 1905 il matematico Yoshio Mikami estese la validità del teorema, inizialmente definito soltanto per quadrilateri, anche a poligoni generici, e lo diffuse in Occidente mantenendone il nome originale. Il nome odierno è stato infine attribuito da Nick MacKinnon in un articolo del The Mathematical Gazette del 1993.

Il sangaku contenente questo teorema era esposto in un tempio scintoista localizzabile tra le odierne prefetture di Yamagata e Akita, ma la tavoletta originale è attualmente irreperibile.

Dimostrazione

Secondo il teorema di Carnot, DF + DG + DH = R + r.

Il teorema giapponese può essere facilmente dimostrato attraverso l'applicazione del teorema di Carnot per i triangoli, il quale afferma che, dato un triangolo qualsiasi, la somma algebrica delle distanze del centro della circonferenza circoscritta dai tre lati del triangolo equivale alla somma del circumraggio e dell'inraggio:

${\overline {DF}}+{\overline {DG}}+{\overline {DH}}=R+r.$

Nel membro sinistro dell'uguaglianza, le distanze sono da intendersi con segno positivo, se sono interne al triangolo o ne intersecano i lati, o con segno negativo, se sono completamente esterne al triangolo.

Osserviamo che, con una triangolazione qualsiasi, un poligono di $n$ lati viene sempre suddiviso in $n-2$ triangoli, i quali hanno come circonferenza circoscritta il cerchio di partenza: ne consegue che, per ognuno dei triangoli, il circumraggio è il medesimo. Per il generico triangolo $k$ della triangolazione, il teorema di Carnot può essere così riscritto:

$R+r_{k}=DD_{k},$

da cui

$r_{k}=DD_{k}-R,$

dove $R$ è il circumraggio (pari al raggio della circonferenza di partenza), $r_{k}$ è l'inraggio e $DD_{k}$ la somma delle perpendicolari ai lati del $k$-esimo triangolo. La somma degli inraggi degli $n-2$ triangoli è quindi:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n-2}r_{k}&=r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{n-2}\\&=DD_{1}+DD_{2}+\ldots +DD_{n-2}-(n-2)R.\end{aligned}}$

$DD_{1}+DD_{2}+\ldots +DD_{n-2}$ è una somma composta dalle perpendicolari ai lati del poligono ciclico, considerate una volta, e delle perpendicolari alle diagonali del poligono, considerate ognuna due volte. Ogni diagonale, infatti, rappresenta un lato in comune a due triangoli adiacenti, ma le perpendicolari ad essa sono assunte una volta con segno positivo, e una volta con segno negativo, poiché i triangoli sono da parti opposte rispetto alla medesima diagonale. Ne consegue che esse si annullano a vicenda. Il termine sopra citato si riduce, pertanto, alla somma delle perpendicolari dal circumcentro agli $n$ lati del poligono, la quale è evidentemente costante e univocamente determinata una volta definito il poligono di partenza.
Poiché il membro di destra della precedente uguaglianza è costante e indipendente dalla triangolazione scelta, lo è anche il membro di sinistra, cioè la somma degli inraggi della triangolazione.

David Richeson della Mathematical Association of America ha dimostrato che, dati una circonferenza di raggio $R$ e il numero $n$ di lati del poligono inscritto, l'$n$-esimo poligono regolare è quello che ha la somma degli inraggi più elevata, e che tale somma tende a $2R$ al crescere di $n$. Inoltre, ha dimostrato è che possibile estendere il teorema anche a poligoni non convessi.

Altre definizioni

Il teorema giapponese per i quadrilateri ciclici

Il teorema, noto anche come teorema giapponese per i poligoni ciclici, è la generalizzazione di una proprietà simile definita per i quadrilateri inscritti in una circonferenza, nota come teorema giapponese per i quadrilateri ciclici. Esso afferma che, suddividendo un quadrilatero ciclico con una diagonale, la somma degli inraggi dei due triangoli così ottenuti è indipendente dalla scelta di detta diagonale. Inoltre, gli incentri delle due coppie di triangoli in cui il quadrilatero viene diviso dalle due diagonali giacciono sui vertici di un rettangolo.

Voci correlate

• Cerchio
• Circonferenza
• Circonferenza circoscritta
• Circonferenza inscritta
• Circumraggio
• Inraggio

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema giapponese, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) David Richeson, The Japanese Theorem for Nonconvex Polygons, in Loci, Mathematical Association of America, dicembre 2013.
• (EN) Alexander Bogomolny, An Old Japanese Theorem, su cut-the-knot.org, Cut The Knot.