Serie di Kempner

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La serie di Kempner è una variante della serie armonica, costruita omettendo tutti i termini il cui denominatore contiene la cifra espressa in base decimale. Cioè, è la somma

dove l'apice indica che assume solo i valori la cui espansione decimale non contiene dei . La serie fu per la prima volta studiata da A. J. Kempner nel 1914.[1] La serie è interessante a causa del risultato controintuitivo che, a differenza della serie armonica, la serie di Kempner converge. Kempner mostrò che il valore di questa serie è minore di . Baillie[2] dimostrò che, arrotondata alla 20ª cifra decimale, la somma reale è [3].

Euristicamente, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di cifre contenga almeno un , causandone l'esclusione dalla precedente somma.

Schmelzer e Baillie[4] trovarono un algoritmo efficiente per il problema dell'omissione di stringhe di cifre. Per esempio, la somma di dove non contiene "42" è all'incirca . Un altro esempio: la somma di dove in non appare la stringa "314159" (le prime cifre del π) è approssimativamente .

La dimostrazione della convergenza di Kempner[1] viene riportata in molti manuali, per esempio Hardy e Wright[5] e Apostol.[6] Si raggruppano i termini della serie in base al numero di cifre del denominatore. Il numero degli interi di cifre che non contengono il è uguale a , poiché ci sono scelte (da 1 a 8) per la prima cifra, e scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre . Ognuno di questi numeri senza è maggiore o uguale di , quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di . Pertanto l'intera serie dei reciproci è al massimo

Lo stesso ragionamento funziona per ogni cifra omessa diversa da zero. Il numero degli interi di cifre che non contengono lo è , quindi la relativa serie di Kempner è al massimo

La serie converge anche se vengono omesse delle stringhe di cifre, per esempio togliendo tutti i denominatori che hanno in base la sottostringa "42". Si può dimostrare nella stessa maniera.[4] Prima si osserva che si può lavorare con numeri in base e togliere tutti i denominatori che hanno tale stringa come "cifra". Il ragionamento analogo al caso della base mostra che questa serie converge. Ora ritornando alla base decimale, si osserva che la serie non toglie proprio tutti i denominatori che contengono la stringa data, infatti alcune certe configurazioni vengono considerate nella somma. Per essere più precisi, se si raggruppano le cifre in blocchi di cifre a partire da destra, il numero non viene omesso se la data stringa attraversa il confine fra un blocco e un altro. Per esempio, se si vuole omettere "42", la serie in base toglierà e , ma non . Dal momento che la serie in base 100 converge ed è più grande di quella omette tutti i "42", allora, per il teorema del confronto, anche quest'ultima converge.

Farhi[7] considerò serie di Kempner, cioè le somme dei reciproci degli interi positivi che hanno esattamente istanze della cifra , dove (quindi la serie originale di Kempner è ). Dimostrò anche che per ogni e con , la successione dei valori di è decrescente e converge a . È interessante notare che la successione in generale non è decrescente partendo da ; per esempio, per la serie originale di Kempner si ha

con .

Metodi di approssimazione

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La serie converge molto lentamente. Baillie[2] osserva che dopo aver sommato termini, il resto è ancora maggiore di . Il limite superiore di è molto grossolano, e Irwin mostrò[8] da un'analisi delle stime leggermente più accurata che il valore della serie di Kempner è circa , dopo migliorato a .[9]

Baillie[2] sviluppò una ricorsione che esprime il contributo di ogni blocco di cifre in termini del gruppo di lunghezza , per ogni scelta della cifra omessa. Questo permette una stima molto accurata con una piccola quantità di calcolo.

Nome della serie

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La maggior parte degli autori non dà un nome a questa serie. Il nome "serie di Kempner" viene usato in MathWorld[10] e nel libro Gamma di Havil sulla costante di Eulero-Mascheroni.[11]

  1. ^ a b A. J. Kempner, A Curious Convergent Series, in American Mathematical Monthly, vol. 21, n. 2, Washington, DC, Mathematical Association of America, February 1914, pp. 48–50, DOI:10.2307/2972074, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP), JSTOR 2972074.
  2. ^ a b c Robert Baillie, Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit, in American Mathematical Monthly, vol. 86, n. 5, Washington, DC, Mathematical Association of America, May 1979, pp. 372–374, DOI:10.2307/2321096, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP), JSTOR 2321096.
  3. ^ sequenza A082838 in OEIS
  4. ^ a b Thomas Schmelzer e Robert Baillie, Summing a Curious, Slowly Convergent Series, in American Mathematical Monthly, vol. 115, n. 6, Washington, DC, Mathematical Association of America, June–July 2008, pp. 525–540, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP), JSTOR 27642532, MR 2416253.
  5. ^ G. H. Hardy e E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford, Clarendon Press, 1979, ISBN 0-19-853171-0.
  6. ^ Tom Apostol, Mathematical Analysis, Boston, Addison–Wesley, 1974, ISBN 0-201-00288-4.
  7. ^ Bakir Farhi, A Curious Result Related to Kempner's Series, in American Mathematical Monthly, vol. 115, n. 10, Washington, DC, Mathematical Association of America, December 2008, pp. 933–938, Bibcode:2008arXiv0807.3518F, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP), JSTOR 27642640, MR 2468554, arXiv:0807.3518.
  8. ^ Frank Irwin, A Curious Convergent Series, in American Mathematical Monthly, vol. 23, n. 5, Washington, DC, Mathematical Association of America, May 1916, pp. 149–152, DOI:10.2307/2974352, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP), JSTOR 2974352.
  9. ^ "http://www.wolframalpha.com/input/?i=kempner+series"
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Kempner series". MathWorld.
  11. ^ Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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