Equazione binomia

Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:

$ax^{n}+b=0$

dove $n$ è un intero positivo, $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi e $a\neq 0$. Portando $\,b$ al secondo membro e dividendo per $\,a$ si ottiene l'equazione equivalente:

$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$

Metodi risolutivi

Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.

• Se $n$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione $x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$.

• Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}<0$ non ci sono soluzioni reali.

• Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}\geq 0$ ammette le soluzioni opposte $x=+{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ e $x=-{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$. In particolare, se $-{\frac {b}{a}}=0$, l'unica soluzione è $x=0$.

Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre $n$ soluzioni uguali alle radici $n$-esime di $-{\frac {b}{a}}$.

Esempi

• $x^{3}+27=0\;\;\;\to \,\;\;x^{3}=-27\;\;\;\to \;\;\;x={\sqrt[{3}]{-27}}\;\;\;\to \;\;\;x=-3\;\;\;$ (una soluzione reale).
• $x^{4}-16=0\;\;\;\to \;\;\;x^{4}=16\,\;\,\to \;\,\,x={\sqrt[{4}]{16}}\;\;\;\to \;\;\,x=\pm 2\;\,\,$ (due soluzioni reali).
• $2x^{2}+50=0\;\;\;\to \;\;\;2x^{2}=-50\;\;\;\to \;\;\;x^{2}=-25$.

A questo punto si hanno due possibilità:

• se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.
• se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:

$x={\sqrt {-25}}\;\;\,\to \;\;\;x={\sqrt {25i^{2}}}\;\;\;\to \;\;\;x=\pm 5i$

dove è stata utilizzata l'unità immaginaria ($i^{2}=-1$).

Tabella Riassuntiva

EQUAZIONE BINOMIA: $x^{n}=q$ con $x\in \mathbb {R} \land n\in \mathbb {N} \land n>0\land q\in \mathbb {R}$

	$n$ pari	$n$ dispari
$q>0$	$\pm {\sqrt[{n}]{q}}$	$+{\sqrt[{n}]{q}}$
$q<0$	$\not \exists x\in \mathbb {R}$	$-{\sqrt[{n}]{\left|q\right|}}$

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Equazione algebrica
• Equazione trinomia