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In matematica , la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma , che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv , stabilisce che se:
a
1
≥
a
2
≥
⋯
≥
a
n
;
b
1
≥
b
2
≥
⋯
≥
b
n
{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}
allora:
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
≥
(
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
)
{\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}
In modo simile, se:
a
1
≥
a
2
≥
⋯
≥
a
n
;
b
1
≤
b
2
≤
⋯
≤
b
n
{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}
allora:
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
≤
(
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
)
{\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}
o meglio:
(
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
)
n
≥
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
n
⋅
(
b
1
+
⋯
+
b
n
)
n
{\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}
La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento . Si supponga di avere:
a
1
≥
a
2
≥
⋯
≥
a
n
;
b
1
≥
b
2
≥
⋯
≥
b
n
{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}
per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}
è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
=
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
≥
a
1
b
2
+
a
2
b
3
+
⋯
+
a
n
b
1
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
≥
a
1
b
3
+
a
2
b
4
+
⋯
+
a
n
b
2
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
≥
a
1
b
n
+
⋯
+
a
n
b
n
−
1
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}
sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:
n
(
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
)
≥
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
(
b
1
+
⋯
+
b
n
)
{\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n})}
e dividendo per
n
2
{\displaystyle n^{2}}
:
(
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
)
n
≥
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
n
⋅
(
b
1
+
⋯
+
b
n
)
n
{\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}
Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
sono funzioni reali ed integrabili in
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
, entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:
∫
f
g
≥
∫
f
∫
g
{\displaystyle \int fg\geq \int f\int g}
Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.
(EN ) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed . San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
(EN ) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya, Inequalities , Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9 , MR 0944909 .
(EN ) Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed . Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.