Una dimostrazione molto semplice. Usiamo questa notazione Σm=:1+2+...+m Σm³=:1+2³+...+m³. Osserviamo che possiamo scrivere:

     (1) Σ(n-1)+n=Σn,

ed anche che vale

     (2) Σ(n-1)=½n(n-1).

La tesi si scrive allora così:

Per ogni intero positivo m vale:

        (Σm)²=Σm³.

Dimostrazione

È evidente per m=1, per ipotesi induttiva assumiamo sia vero per m≤n-1 cioè che valga:

       (3) (Σm)²=Σm³.

Quindi in particolare che sia vero con m=n-1, ora proviamo che per n=m+1 vale

         (Σn)²=Σn³.

Per (1) possiamo scrivere:

     (Σn)² = (Σm+n)²=
   sviluppando il quadrato:

=(Σm)²+n²+2nΣm

essendo m=n-1 vale (2), 
Σm=½(n-1)n e per l'ipotesi 
induttiva (3) vale anche 
(Σm)²=Σm³, sostituisco e 
semplifico:

Σm³+n²+2n½(n-1)n=

=Σm³+n³=Σn³.

CVD

Per questa dimostrazione vedere articolo a pag. 24 dell' e-book: http://issuu.com/quadernite/docs/leggendo_archimede