Discussione:Successione di funzioni

non dovrebbe essere $E\subseteq C$ in luogo di $E\in C$ ?

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Ho eliminato le modifiche effettuate ieri. Sono d'accordo che la voce adesso è troppo in matematichese e necessiterebbe di un po' di discorsi, ma almeno adesso mi sembra corretta, mentre le modifiche proposte inserivano varie informazioni errate e non aggiungevano chiarrezza. In particolare,

• Una successione non è un insieme di funzioni. Questa cosa è ben chiara a chi si interessa all'argomento e non genera ambiguità, di solito.
• Non si può parlare di "limite di funzioni" come viene fatto discorsivamente nella sezione "Considerazioni generali" senza averlo prima definito. La definizione di convergenza è un punto cruciale. In particolare, non è vero che "la convergenza punto per punto è il requisito minimo necessario per poter parlare di convergenza": ad esempio, la convergenza per integrali (cioè $L^{1}$) è molto usata e non implica la puntuale.
• (fatto meno importante, ma che è comunque utile tenere presente) L'impostazione è troppo da libro di testo. In una enciclopedia non si usa il "noi", e si cerca di non obbligare il lettore a leggere un lungo paragrafo di introduzione per arrivare al dunque.

Ylebru dimmela 11:23, 6 set 2007 (CEST)

Capisco il punto, però un minimo di intorduzione intuitiva poteva anche starci...--Pokipsy76 11:41, 6 set 2007 (CEST)

Hai ragione. Ho provato a riscrivere il pezzo. Che ne dici? Ylebru dimmela 12:51, 6 set 2007 (CEST)

Ho anche modificato un po' di roba più sotto. Ylebru dimmela 13:18, 6 set 2007 (CEST)

• Certo che una successione non è un insieme (anche se io stesso, come osservavi tu, in qualche punto sono stato impreciso), ma proprio perché non è un insieme credo che valga la pena di spiegare questa cosa molto bene. Tu stesso, infatti, per cercare di essere più rigoroso e di non scriverla usando i simboli degli insiemi (parentesi graffe) usi le parentesi tonde e arrivi a dire che si tratta di un insieme ordinato, quando sappiamo bene che un insieme ordinato è un insieme dotato di una relazione d'ordine e mi sembra che non c'entri niente con quello di cui stiamo parlando noi (il solo fatto che in una successione ci possano essere delle ripetizioni lo esclude).
• Semmai dovremmo cercare di spiegare che quella cosa che stiamo scrivendo con le parentesi tonde, cioè $(a_{N})_{n\in \mathbb {N} }$, è in realtà la una sorta di "infinit-upla ordinata". A questo proposito ho cominciato a lavorare alla voce coppia ordinata percercare di spiegare la differenza fra una coppia ordinata e un insieme di due elementi.
• (Se ti vai a leggere quella voce troverai anche lì uno stile da libro di testo e un sacco di "noi". Va bene, devo cambiare stile e cercherò di farlo nei prossimi giorni. Spero solo che non mi cancellerai di sana pianta tutto ciò che ho scritto solo per una questione stilistica.)

--..|DP|.. 15:12, 6 set 2007 (CEST)

Sull'uso preciso delle tonde invece delle graffe, a dire il vero sono stato recentemente (e giustamente) redarguito da un intervento al Luogo geometrico (pagina che ti segnalo, se non l'hai ancora notata)... :-) Ylebru dimmela 22:39, 6 set 2007 (CEST)

• Aggiungo che in generale sto cercando di sviluppare per molte voci delle sezioni di "cenni preliminari" poiché sono convinto che fino a quando uno non capisce quale sia il "problema" di cui una cerca cosa è la "risposta", sia assolutamente impossibile per chiunque capire quella cosa. Ad esempio chi ha chiara la differenza fra la convergenza puntuale e quella uniforme, ce l'ha chiara perché sa che quella puntuale non consente di "scambiare i segni", mentre quella uniforme sì. E se poi ci si ricorda la definizione di convergenza uniforme senza doverla andare a rileggere nei libri, è perché si sa bene che quella puntuale comincia con $\forall x$, mentre in quella uniforme $\forall x$ deve venire dopo, quando si è già scelto un intorno dell'infinito, in modo tale che questo non dipenda dalla scelta di x. Ecco, se uno si ricorda questa cosa poi la definizione che ci serve salta fuori da sé (dopodiché in essa diventa immediato riconoscere il sup).
• Sono d'accordo che tutto ciò non può essere fatto con uno stile da lezione di scuola, tuttavia - risolti i problemi stilistici - ribadisco che se uno non ha chiaro il "problema da risolvere" non può capire niente. Tu dici che chi si occupa di queste cose "lo sa già". Va bene, ma se "lo sa già" non si va a leggere Wikipedia, e viceversa chi va a leggersi Wikipedia spesso lo fa perché non lo sa. Il problema dunque è il seguente: dobbiamo stare più attenti a non passare da ingenuotti di fronte a chi le cose le sa già, o dobbiamo mettere chi non sa in condizione di capire veramente qual è il "senso" di ciò che sta leggendo?

--..|DP|.. 15:32, 6 set 2007 (CEST)

Sono d'accordo, non dobbiamo scrivere per chi "sa già" le cose. Se ho detto qualcosa del genere, mi sono espresso male (oppure era parecchio tardi...) Ylebru dimmela 22:41, 6 set 2007 (CEST)

Noto solo ora che correggendo(mi) la voce "successione" anziché parlare di "insieme ordinato" (che secondo me è solo appena appena meno sbagliato di "insieme") hai parlato di "sequenza ordinata". Ma "sequenza" è un sinonimo di "successione" (gli anglosassoni usano proprio quel termine lì), per cui per evitare il problema ti sei ridotto a dire che una successione è una... successione ordinata. In realtà il problema non è facilmente eludibile, perché quella di "successione" si pone come una nozione primitiva (nei Principia di Russell e Whitehead mi sembra che la si usi sempre come primitiva). Lo stesso capita - come dicevo - con la nozione di n-pla ordinata, e sappiamo che è stata una vera faticaccia ricondure quest'ultima alla nozione di insieme. Dunque quando cerchi di dire "che cosa è" quella cosa che indichi con $(a_{N})_{n\in \mathbb {N} }$ stai affrontando simultaneamente due problemi ognuno dei quali è sufficiente a far tremare le vene dei polsi. Infatti da una parte stai cercando di dire che cosa è una n-pla ordina rinunciando ad usarla come nozione primitiva e cercando di esprimerla in termini di nozioni più fondamentali (ma quali?) e allo stesso tempo per descrivere ciò di cui stai parlando non basta nemmeno la n-pla ordinata, ma dovremmo parlare di una "infinit-upla ordinata". Ne segue che o rinunci a priori a cercare di dire "che cosa è" e la prendi come nozione primivitiva (tanto primitiva quanto quella di insieme), oppure ti immergi in un problema di assiomatica (e poi di filosofia) di quelli plurimillenari. Per quel che mi riguarda, sarei dell'idea di rinunciare ad entrambe queste soluzioni estreme, e provare a fare un "discorsetto dei miei" in fondo alla voce "successione" (quella generale). Se me lo lasci fare nei prossimi giorni ci provo. --..|DP|.. 16:10, 6 set 2007 (CEST)

I did it! Ho aggiunto una sezione all'articolo sulle successioni. In essa considero il concetto di successione come concetto fondamentale che può essere inteso come concetto primitivo oppure può essere ricondotto a qualche altro concetto primitivo. Questo mi ha costretto ad ampliare l'articolo sul concetto primitivo (che era solo una bozza) e per completare il tutto ho aggiunto (anzi, lo avevo già fatto) una sezione all'articolo sui sistemi assiomatici. Un bel viaggetto nella filosofia della matematica, insomma, e tutto a partire dal filo d'Arianna delle successioni, che dovrebbero essere uno dei concetti più "semplici" della matematica. --..|DP|.. 21:24, 6 set 2007 (CEST)

Mentre decidiamo che fare delle mie logorroiche velleità filosofiche, potremmo cercare tutti assieme di dire in una forma accettabile "che cosa è" quell'oggetto che stiamo indicando con $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, e che di solito viene scritto esplicitamente elencando il valore dei primi termini della funzione associata alla successione. È chiaro che quell'oggetto non è un insieme, né un insieme ordinato (quindi - se siamo tutti d'accordo - bisogna correggere la voce sulle successioni), né è la funzione (perché una funzione non va confusa con i suoi valori). Io ho già detto come la penso: è una infinit-upla ordinata; e questa cosa ho cercato di spiegarla nella parte "filosofica" dell'articolo sulle successioni. Se dipendesse da me costruirei l'articolo sulle successioni (non questo delle successioni di funzioni, ma quello generico) secondo il seguente ordine: 1) un approccio puramente intuitivo nella introduzione, rinunciando del tutto a qualunque tentativo di formalizzare la definizione di successione; 2) definizione rigorosa data "senza spiegazioni", con introduzione del "simbolo" $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ come una sorta di "stenografia" per indicare la successione; 3) le "riflessioni filosofiche", dalle quali dovrebbe emergere "che cosa è veramente" quell'oggetto. --..|DP|.. 21:41, 6 set 2007 (CEST)

Ciao Davide. Intanto mi "rivelo" perchè in parte ci conosciamo: sono LordBeotian dei newsgroup. Mi fa molto piacere vederti qui :) Riguardo alla questione in oggetto sono d'accordo con te sul fatto che per capire una definizione bisogna capire i retroscena che stanno dietro alla stessa, è quello che si dovrebbe fare nelle sezioni introduttive che spiegano la "motivazione", si possono vedere degli esempi nella voce spazio topologico o equazione differenziale. L'importante è che questa spiegazione dei retroscena sia il più possibile concisa ed efficace andando dritta al nocciolo della questione senza troppi fronzoli.--Pokipsy76 22:43, 6 set 2007 (CEST)

Fa molto piacere anche a me l'arrivo di un contributore così pieno di nuovi stimoli. A proposito delle successioni, in matematica vengono effettivamente definite come funzioni da N in un insieme (e non come i loro valori). Ylebru dimmela 22:54, 6 set 2007 (CEST)

Ecco, vedi, se tu fossi Jessica Rabbit potremmo dire che non sei cattivo, ma è che ti disegnano così :-) Mi fa piacere se ogni tre o quatto mazzolate mi elargisci anche una pacca sulla spalla di incoraggiamento, che qua la vita è dura :-/ A parte gli scherzi, ora che sto cominciando a "prenderci le misure" mi rendo conto di aver fatto i primi passi in modo piuttosto maldestro, e che per uno esperto (sia della materia che del mezzo) la cosa possa risultare piuttosto fastidiosa, per cui mi scuso per averti costretto ad "inseguirmi" per agiustare i danni. D'altra parte - se proprio devo essere sincero - non credo che sia possibile muoversi con la massima cautela e la massima sicurezza: se per scrivere una cosa si dovesse aspettare di essere sicurissimi e aver controllato tutto (tutte le fonti, eccetera), probabilmente si aggiungerebbe una parola al mese. Forse è necessario "buttarsi", almeno un po', anche col rischio di scrivere qualche sciocchezza (tanto poi c'è chi aggiusta ;-)). Insomma, prometto che cercherò di peccare di meno, ma non mi sento sono pronto per la santità :-) Alla prossima. --..|DP|.. 05:52, 7 set 2007 (CEST)

Oh, ciao! È stata proprio una bella sorpresa, anche se in fondo avrei dovuto aspettarmelo di "qui" :-) Come vedi appena ho cominciato a pasticciare fra la roba matematichesca mi sono subito imbattuto nella severa sorveglianza del mitico Ylebru, terrore di tutti i matematici della domenica (come me). Tu che lo conosci, mettici una buona parola: che abbia un po' di pazienza, e vedrà che da qui al 2051 riuscirò a dare qualche segno di miglioramento :-) Intanto grazie a tutti e due per l'attenzione (e la pazienza). --..|DP|.. 05:42, 7 set 2007 (CEST) P.S. La voce sullo spazio topologico mi piace moltissimo!

Proposta

Ho continuato a lavorare alla parte "filosofica" della voce successione (quella generica) e dopo vari tentennamenti e oscillazioni ho deciso che l'approccio intuitivo del termine, quello che prende le mosse dal linguaggio e dalla esperienza comune, non può che partire dal concetto di elenco ordinato, perché - fra tutti i concetti dei quali si può dire che "tutti capiscono cosa significa" - mi sembra quello più "vicino" al concetto che vogliamo definire. In considerazione di ciò, per superare le difficoltà concettuali che avevamo evidenziato e anche per mantenere una certa coerenza fra le due parti della voce, proporrei di riscrivere l'incipit della voce sulle successioni nel modo seguente: <\br><\br>

Commenterò i pezzi all'internod el testo perchè mi risulta più facile. Intanto un consiglio: non usare mai "\br".--Pokipsy76 14:45, 7 set 2007 (CEST)

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In matematica, una successione è definibile intuitivamente come un elenco ordinato di oggetti. Come avviene nel caso di un insieme, si può dire che tali oggetti appartengono all'elenco, ma un elenco ordinato non è un insieme, poiché - contrariamente a quel che avviene per gli insiemi - l'ordine degli oggetti fa la differenza, e inoltre in un elenco ordinato uno stesso oggetto può essere ripetuto più volte.

• commento: io direi più brevemente:

In matematica, una successione è intuitivamente un elenco ordinato di oggetti. A differenza di quanto avviene per gli insiemi per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano ed uno stesso oggetto può comparire più volte.

Ma quindi, se capisco bene, stiamo intendendo per "successione" anche le sequenze finite???

Inoltre andiamoci piano con i confronti trai concetti: di confronti e parallelismi se ne potrebbero fare a quintalate, bisogna stare attenti a selezionare quelli che sono rilevanti nel contesto e non esagerare.--Pokipsy76 14:45, 7 set 2007 (CEST)

Occorre pertanto tenere le successioni ben distinte dagli insiemi fin dalla notazione, e ciò si ottiene per mezzo di due accorgimenti formali:

1. mentre gli oggetti che appartengono a un insieme si dicono elementi dell'insieme, quelli che appartengono ad una successione si dicono termini della successione;
2. mentre gli elementi di un insieme vengono solitamente delimitati da parentesi graffe, sicché un insieme si presenta graficamente nella forma {...}, i termini di una successione dovrebbero essere delimitati da parentesi tonde e presentarsi graficamente nella forma (...) (l'uso delle parentesi graffe per le successioni, per quanto sancito da una certa tradizione, dovrebbe pertanto essere considerato scorretto, o quanto meno improprio).

• commento: mi sembra troppo un tirarla per le lunghe. Inoltre la notazione con le parentesi tonde non è "LA" notazione standard per le successioni e non abbiamo nessun diritto di giudicare "improprie" delle notazioni che invece si sono diffuse come standard.--Pokipsy76 14:45, 7 set 2007 (CEST)

Nella esperienza comune tutti gli elenchi ordinati di oggetti sono elenchi finiti, cioè costituiti da un numero finito di termini. In matematica però con il termine successione si indica un elenco potenzialmente infinito, sicché per esplcitarlo si dovrebbe produrre una sequenza infinita di termini. Ciò ovviamente non è concretamente possibile, per cui solitamente si indica una successione elencando i primi termini e facendo poi riferimento al termine generico usando in modo intuitivamente comprensibile i "puntini di sospensione", così:

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )$

In alternativa si può indicare un generico termine $a_{n}$, indicando che n varia in $\mathbb {N}$. Anche in questo caso per tenere distinta la successione dell'insieme si evita di scrivere $(a_{n},n\in \mathbb {N} )$, e si pone l'insieme in cui varia n come pedice al di fuori delle parentesi, così: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. In letteratura si trova anche la notazione $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, ma per le ragioni illustrate sopra sarebbe da evitare.

Dal momento che in una successione ogni termine ha una sua "posizione" ben definita, nel senso che si può sempre dire quale sia l'n-mo termine di una successione, ad ogni successione resta associata in modo univoco una funzione f da $\mathbb {N}$ all'insieme J dei termini della successione, la quale funzione associa all'intero n il termine n-mo della successione. E siccome esiste questa corrispondenza biunivoca fra le successioni in J e le funzioni da $\mathbb {N}$ a J, tale corrispondenza viene sfruttata per definire formalmente una successione come una funzione di questo tipo: è questa infatti la definzione adottata nei testi specialistici.

• commento: non facciamo prima a dire che "formalmente" una successione può essere definita come ecc...? Questa faccenda della corrispondenza biunivoca tra le due classi di oggetti di cui una delle due ha solo una definizione intuitiva rischia di appesantire.--Pokipsy76 14:45, 7 set 2007 (CEST)

Adottando tale definizione formale, cioè facendo coincidere la successione con una funzione f tale che $a_{n}=f(n)$, a rigore non si potrebbe più dire che la successione è costituita dall'elenco ordinato dei suoi termini, poiché l'elenco $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sarebbe costituito dai valori assunti dalla funzione al variare di n, ed in genere è considerato un errore confondere una funzione con i suoi valori, i quali sono elementi del codomio della funzione. Nonostante ciò in molti testi si mantiene un collegamento con la definizione intuitiva di successione, quella da cui si origina la definizione formale, sicché si parla di successione sia per riferirsi alla funzione f sia per riferirsi all'elenco ordinato $a_{n}=f(n)$ dei suoi valori (il quale non è un insieme, e non deve essere confuso con il codominio di f, per quanto i singoli termini $a_{n}$ appartengano tutti al codominio di f).

• commento: non mi convince la digressione su quello che "in genere viene considerato errore", tra l'altro se diciamo così non è chiaro da chi viene considerato tale e che tipo di autorità abbia questo punto di vista e specificarlo esula dal contesto... comunque l'introduzione nel complesso non sarebbe male mi sembra che tutto quanto possa essere detto in modo molto più sintetico e senza girarci troppo intorno...--Pokipsy76 14:45, 7 set 2007 (CEST)

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Che ne dite? --..|DP|.. 14:07, 7 set 2007 (CEST)

Adottando questo incipit, risolveremmo in un colpo solo i seguenti problemi:

1. potremmo eliminare quella sezione sull'uso delle notazioni e sulle sue ambiguità, che avevo aggiunto alla voce successione;
2. come dicevo, avremmo una uniformità fra l'incipit e l'"approfondimento filosofico" della voce;
3. ma soprattutto potremmo togliere dalla voce sulle successioni di funzioni (questa), quell'affermazione secondo la quale $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è un insieme ordinato, la quale affermazione - dopo tutto ciò che abbiamo detto e la fatica che abbiamo fatto - è li che "grida vendetta" :-)

--..|DP|.. 14:25, 7 set 2007 (CEST)

Altra cosa: non dovresti avanzare le proposte di modifica per "sucecssione" su questa voce (che sarà controllata da ben poca gente). Un'idea migliore è avanzare la proposta alla voce "successione", un'idea ancora migliore è avanzarla in questa pagina che è controllata da tutti gli wikipediani matematici.--Pokipsy76 14:52, 7 set 2007 (CEST)

Correttezza del simbolismo

E' una "quisqulia" ma non mi sentirei di far dire a wikipedia che il simbolismo con le parentesitonde è "più corretto" di quello con le graffe: sono solo convenzioni e sono entrambe accettate ampiamente da tutti, questo è quanto. Le convenzioni possono essere più o meno "ragionevoli" e "azzeccate", non "scorrette".--Pokipsy76 20:47, 16 ott 2007 (CEST)

ε piccolo a piacere

Propongo l'eliminazione della precisazione "piccolo a piacere" quando si parla di ε>0. È una specificazione inutile e fuorviante, poiché ciò che vale per un $\forall$ ε>0 vale per ε sia piccolo che grande.--Lolasdomgwtfafk (msg) 02:45, 12 mar 2013 (CET)

Mah, non so se sia realmente fuorviante, l'obiettivo è proprio rendere più chiaro che il caso interessante è ε piccolo. In ogni caso per me va bene sia con che senza, più che altro è importante che sia maggiore e non maggiore o uguale a zero! :)--Sandro_bt (scrivimi) 04:33, 12 mar 2013 (CET)

Certo su questo non ci piove, non avevo notato quel maggiore o uguale. Ho messo la frase tra parentesi, spero che così vada bene. --Lolasdomgwtfafk (msg) 02:42, 15 mar 2013 (CET)

Collegamenti esterni modificati

Gentili utenti,

ho appena modificato 1 collegamento/i esterno/i sulla pagina Successione di funzioni. Per cortesia controllate la mia modifica. Se avete qualche domanda o se fosse necessario far sì che il bot ignori i link o l'intera pagina, date un'occhiata a queste FAQ. Ho effettuato le seguenti modifiche:

• Aggiunta del link all'archivio https://web.archive.org/web/20070302194212/http://amath.colorado.edu/courses/5350/2002fall/uniform.html per http://amath.colorado.edu/courses/5350/2002fall/uniform.html

Fate riferimento alle FAQ per informazioni su come correggere gli errori del bot

Saluti.—InternetArchiveBot (Segnala un errore) 13:59, 27 gen 2018 (CET)