Azione di monodromia

In topologia, l'azione di monodromia è un'azione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico sulla fibra dei suoi punti tramite un rivestimento.

Definizione

Nel seguito supporremo che $X$ sia uno spazio topologico connesso per archi, e che $\pi _{1}(X,x_{0})$ sia il suo gruppo fondamentale una volta fissato un elemento (e quindi una puntatura) $x_{0}\in X$.

Sia $p\colon E\to X$ un rivestimento, e sia $F=p^{-1}(x_{0})$ la fibra di un punto $x_{0}\in X$. Allora, prendendo proprio $x_{0}$ come puntatura, è definita un'azione (destra) di gruppo

${\mathfrak {m}}\colon F\times \pi _{1}(X,x_{0})\longrightarrow F$

$({\tilde {x}},[\gamma ])\longmapsto {\tilde {x}}\cdot [\gamma ]={\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(1)$

dove ${\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}\colon [0,1]\to E$ è il sollevamento (unico) del cammino $\gamma \colon [0,1]\to X$ tale che ${\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(0)={\tilde {x}}$.

Bibliografia

• M. Manetti, Topologia, Springer.