1-forma
In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).
In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà è una funzione liscia definita dallo spazio totale del fibrato tangente di a la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:
dove è lineare.
Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:
dove sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.
Differenziale di una funzione[modifica | modifica wikitesto]
Sia un insieme aperto, ad esempio un intervallo , e si consideri una funzione differenziabile , con derivata . Il differenziale di , nel punto , è definito come una trasformazione lineare della variabile data da:
Il simbolo è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione . La mappa associa quindi ogni punto al funzionale lineare . Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.
Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, p. 57, ISBN 0-7167-0344-0.
- (EN) Igor Rostislavovich Shafarevich, Basic algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, ISBN 3540082646.
- (EN) Mario Baldassarri, Algebraic varieties, Springer-Verlag, 1956, LCCN 56058757.
- (EN) Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, LCCN 77001177.
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
- Differenziale (matematica)
- Fibrato cotangente
- Fibrato tangente
- Forma differenziale
- Forma di volume
- Funzionale lineare
- Funzione liscia
- Spazio duale
- Varietà differenziabile
Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Eric W. Weisstein, 1-forma, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) 1-forma, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.