Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.

Enunciato

Il teorema afferma che una successione monotona $\{a_{n}\}$ di numeri reali converge sempre ad un limite $a$; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.

Tale limite è finito se e solo se $\{a_{n}\}$ è limitata.

Esempi

La successione $a_{n}=1/n$:

$1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots$

è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:

$a=\inf\{a_{n}\}=0$

La successione $a_{n}=n$:

$1,2,3,\ldots \,\!$

è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:

$a=\sup\{a_{n}\}=+\infty$

Dimostrazione

Supponiamo la successione $\{a_{n}\}$ sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni $x$ esiste un $N\in \mathbb {N}$ tale che $a_{N}>x$; di conseguenza, per la monotonia, $a_{n}>x$ per ogni $n>N$. Per definizione, allora, il limite di $\{a_{n}\}$ è infinito.

Se la successione è limitata, sia $a$ il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni $\epsilon >0$ esiste un $N\in \mathbb {N}$ tale che $a_{N}>a-\epsilon$; di conseguenza, $a_{n}>a-\epsilon$ per ogni $n>N$. Per definizione di limite, $a$ è il limite di $\{a_{n}\}$.

Nel caso in cui $\{a_{n}\}$ sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione $\{-a_{n}\}$ e poi applicare le proprietà dei limiti.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.