Teorema di convergenza di Vitali

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In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione "dominante" per la successione di funzioni considerata (se invece è possibile, il teorema della convergenza dominata segue come caso particolare).

Sia uno spazio di misura con misura positiva. Se:[1]

  • è uniformemente integrabile
  • quasi ovunque per
  • quasi ovunque

allora si verifica:

Viceversa, sia uno spazio di misura con misura positiva. Se:[1]

  • esiste per ogni

allora è uniformemente integrabile.

Dimostrazione

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Per mostrare che si usa il lemma di Fatou:

Utilizzando l'integrabilità uniforme si ha che:

dove è un insieme tale che . Per il teorema di Egorov, inoltre, converge uniformemente sull'insieme . Si ha:

per un abbastanza grande e per ogni . Grazie alla disuguaglianza triangolare:

Applicando tale limite sul membro di destra del lemma di Fatou si ottiene quindi che .

Per mostrare che si utilizza il fatto che:

dove e . I termini al membro di destra sono limitati rispettivamente per quanto detto sopra, per l'integrabilità uniforme di , e per il teorema di Egorov (per tutti gli ).

  1. ^ a b Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 1986, p. 133, ISBN 978-0-07-054234-1.
  • (EN) Gerald B. Folland, Real analysis, Pure and Applied Mathematics (New York), Second edition, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, pp. xvi+386, ISBN 0-471-31716-0.
  • (EN) Jeffrey S. Rosenthal, A first look at rigorous probability theory, Second edition, Hackensack, NJ, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, pp. xvi+219, ISBN 978-981-270-371-2.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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