Teorema delle tangenti e delle secanti
Il teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.
Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.[1]
Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.[2][3]
“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”
Ipotesi
[modifica | modifica wikitesto]- Sia un punto esterno alla circonferenza .
- Sia tangente alla circonferenza.
- Sia secante alla circonferenza in ed .
Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:
Tesi
[modifica | modifica wikitesto]Il segmento è medio proporzionale tra e ; vale a dire .
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli e sono simili.
Infatti hanno l'angolo in in comune e l'angolo congruente all'angolo , perché angoli che insistono sullo stesso arco .
Ne consegue . (c.v.d.)
Corollario
[modifica | modifica wikitesto]Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:
con perpendicolare a , centro della circonferenza, , si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea con riga e compasso.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Fabio Gervasi, Proprietà relative alla circonferenza, ai suoi angoli, alle sue tangenti e alle sue secanti (PDF), su www.brigantaggio.net. URL consultato il 21 febbraio 2023.
- ^ Tangent Secant Theorem - ProofWiki
- ^ Converse of Tangent Secant Theorem - ProofWiki
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Terzo libro degli elementi, su proofwiki.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2014).