Processo di Lévy

In teoria della probabilità, un processo di Lévy (dal matematico francese Paul Lévy) è un processo stocastico con incrementi stazionari e indipendenti: rappresenta il moto di un punto i cui movimenti successivi siano indipendenti e siano identicamente distribuiti su intervalli di tempo della stessa lunghezza. Può essere visto come una versione continua della passeggiata aleatoria.

I processi di Levy più conosciuti sono il processo di Poisson e il moto browniano. Tutti i processi di Lévy sono anche processi additivi.

Definizione

Un processo stocastico $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ è detto processo di Lévy se:

• $X_{0}=0$ quasi certamente.
• Ha incrementi indipendenti, ovvero per ogni scelta di tempi $0\leq t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty$, le variabili aleatorie $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ sono indipendenti.
• Ha incrementi stazionari, ovvero per ogni scelta di $s<t$, la variabile aleatoria $X_{t}-X_{s}$ ha la stessa legge di $X_{t-s}$.

Proprietà

• Ogni processo di Lévy possiede una versione càdlàg quasi certamente.