Metrica indotta

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In matematica e in fisica teorica, la metrica indotta è il tensore metrico definito su di una sottovarietà che è calcolato a partire dal tensore metrico definito su una varietà più ampia in cui la sottovarietà è immersa.

La metrica indotta può essere calcolata usando la seguente formula:

Dove sono gli indicati delle coordinate della sottovarietà, mentre le funzioni delle coordinate identificano la superficie dello spazio tangente in una varietà con più dimensioni descritta dalle coordinate .

Si osservi che si è usata la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti nelle sommatorie.

Definizione di tensore metrico

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In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.

Prodotto scalare non degenere in ogni punto

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Un tensore metrico è un campo tensoriale definito su una varietà differenziabile, di tipo , simmetrico e non degenere in ogni punto.

Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.

Un tensore è indicato in coordinate come . Per ogni punto della varietà, fissato una carta locale, il tensore in è rappresentato quindi da una matrice simmetrica con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di all'interno della carta.

Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice è la stessa per ogni se la varietà è connessa.

Se la segnatura è di tipo , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.

Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura . Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.

Varietà immersa

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Sia una varietà differenziabile in . Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su : si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di al sottospazio dei vettori tangenti a . Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in ha una struttura di varietà riemanniana.

Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche , è dato da

e può essere riassunto nella forma

Spaziotempo di Minkowski

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Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio dotato del tensore

che può essere riassunto nella forma

La costante è la velocità della luce.

Indici di un tensore

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Tensore metrico coniugato

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Al tensore metrico è associato un analogo tensore di tipo , denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto . Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:

scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore è la delta di Kronecker definita da

Alzamento e abbassamento di indici

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Lo stesso argomento in dettaglio: Innalzamento e abbassamento degli indici.

Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.

Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori e . Ad esempio, un vettore viene trasformato in un covettore

Alternativamente,

Voci correlate

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