Nell'analisi matematica, il lemma di Grönwall (o disuguaglianza di Grönwall) permette di limitare una funzione che soddisfa una certa disuguaglianza differenziale o integrale con la soluzione della corrispondente equazione differenziale o integrale. Ci sono due forme del lemma, una forma differenziale e una integrale. Per quest'ultimo esistono diverse varianti.
Il lemma di Grönwall è uno strumento importante per ottenere varie stime nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie e stocastiche. In particolare, fornisce un teorema del confronto che può essere usato per dimostrare l'unicità di una soluzione al problema di Cauchy; vedere il teorema di Picard–Lindelöf.
Il suo nome deriva da Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall è la grafia svedese del suo nome, ma dopo essere emigrato negli Stati Uniti firmerà le pubblicazioni scientifiche come Gronwall.
La forma differenziale della disuguaglianza fu provata da Grönwall nel 1919.[1]
La forma integrale fu invece dimostrata da Richard Bellman nel 1943 (per questo motivo la disuguaglianza viene chiamata anche di Grönwall–Bellman).[2]
Una generalizzazione non lineare del lemma è conosciuta come la disuguaglianza di Bihari–LaSalle. Altre varianti e generalizzazioni possono essere trovate in Pachpatte, B.G. (1998).[3]
Sia
un intervallo della retta reale nella forma
o
o
con
. Siano inoltre
e
funzioni continue a valori reali definite su
. Se
è derivabile nella parte interna
di
(l'intervallo
senza gli estremi) e soddisfa la disuguaglianza differenziale
![{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7282208efc98a33a189cf81b298959a7e866ebfd)
allora
è limitata dalla soluzione della corrispondente equazione differenziale
:
![{\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89402de9996fd2d802875f0bf420e19ac73d0f05)
per ogni
.
Osservazione: Non ci sono ipotesi sul segno delle funzioni
e
.
Si definisce la funzione
![{\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab051e7f7558a13b68b744bf9ddb8023a1485f3)
Si nota che
soddisfa
![{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459eab76b89632b0dbee4eefcaf1a9a285f73264)
con
e
per ogni
. Per la regola del quoziente
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe16930494086ef2af4c457ad0db6a8dbc2a7778)
Perciò la derivata della funzione
è non positiva e quindi la funzione è decrescente e limitata superiormente dal suo valore nell'estremo sinistro
dell'intervallo
:
![{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7fd34d89c71591fd2e23d14f25f8a7e2e96f83)
che è la disuguaglianza di Grönwall.
Sia
un intervallo della retta reale nella forma
o
o
con
. Siano inoltre
,
e
funzioni a valori reali definite su
. Si assuma che
e
siano continue e che la parte negativa di
sia integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato di
.
- (a) Se
è non negativa e se
soddisfa la seguente disuguaglianza integrale
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fb483a311bc6d1e7601c4b94bdeb18fd798dac)
- allora
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee641b334cee49441421aa30ffc5d5043d313f62)
- (b) Se, inoltre, la funzione
è non decrescente, allora
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b52a0b3741ae33a15aa58d56250172abb40830)
Osservazioni:
- Non ci sono ipotesi sul segno di
e
.
- Comparata alla forma differenziale, la derivabilità di
non è richiesta nella forma integrale.
- Per una versione del lemma di Grönwall che non richieda la continuità di
e
, vedere la sezione successiva.
(a) Si definisce
![{\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b804da01905c1a1f3acccfe453778cc5340cd)
Usando la regola del prodotto, la regola della catena, la derivata della funzione esponenziale e il Teorema fondamentale del calcolo integrale, si ottiene per la derivata
![{\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6029c7a45e1c452b9d11a9e29d7d76463f906c9)
dove si è usata la disuguaglianza integrale nell'ipotesi. Dato che
e l'esponenziale sono non negativi, questo dà una stima superiore per la derivata di
. Siccome
, dall'integrazione di questa disuguaglianza da
a
si ricava
![{\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ab565d94eea93f2406428be8f10ddbb8433934)
Usando la definizione di
dal passo precedente, insieme alla equazione funzionale dell'esponenziale, si ottiene
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f54cbe7f97f9b1dc9c31fe828daee193459885)
Sostituendo nella disuguaglianza integrale assunta nelle ipotesi si ha la disuguaglianza cercata.
(b) Se la funzione
è non decrescente, allora dalla parte (a), il fatto
, e il teorema fondamentale del calcolo implica che
![{\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+{\biggl (}{-}\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487f9d7cc89a94658bb5712cb1a97e0f039f0bdf)
Sia
un intervallo della retta reale nella forma
o
o
con
. Siano
e
funzioni misurabili definite su
e sia
una misura non negativa definita sulla σ-algebra di Borel di
che soddisfa
per ogni
(questo è certamente soddisfatto quando
è una misura localmente finita). Si assuma che
sia integrabile rispetto a
nel senso che
![{\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3e889d1e82ac9a291a049dc1c3bebd9e0eefee)
e che soddisfa la disuguaglianza integrale
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06111079ce81d8fb3c71fbccc6d3296286f9845c)
Se, inoltre,
- la funzione
è non negativa o
- la funzione
è continua per
} e la funzione
è integrabile rispetto a
nel senso che
![{\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38fec7803817aaeb27902f6a2f77a0837b86e46)
allora
soddisfa la seguente disuguaglianza
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cc4d798902e5a76a8abbeb078c0c4a1575f10b)
per ogni
, dove
indica l'intervallo aperto
.
- Non ci sono ipotesi sulla continuità di
e
.
- Il valore infinito è permesso nell'integrale della disuguaglianza.
- Se
è la funzione zero e
è non negativo, allora la disuguaglianza di Grönwall implica che
è anch'essa la funzione zero.
- L'integrabilità di
rispetto a
è essenziale per l'enunciato. Per un controesempio, sia
la misura di Lebesgue sull'intervallo unitario
, con
,
per
e
la funzione zero.
- La versione data nel testo di S. Ethier and T. Kurtz.[4] richiede le ipotesi più forti che
sia una costante non negativa e
sia limitata su intervalli limitati, ma non assume che
sia localmente finita. Comparato a quella data successivamente, la loro dimostrazione non discute il comportamento di
.
- Se la misura
ha una densità
rispetto alla misura di Lebesgue, allora il lemma di Grönwall può essere riscritto come
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917f335052572004db5209b3c80ca383c2f6d4f6)
- Se la funzione
è non negativa e la densità
di
è limitata da una costante
, allora
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f143e9aaf35da6c05c4178f3f2ab66dfb582dc3)
- Se, in aggiunta, la funzione non negativa
è non decrescente, allora
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e5b34263c19cc9301b85cb160de907a39b1ec6)
La dimostrazione è divisa in tre passi. Un'idea è di sostituire
volte la disuguaglianza integrale in se stessa. Questo è fatto nella Affermazione 1 per induzione matematica. In Affermazione 2 si riscrive la misura del simplesso in una forma conveniente, usando l'invarianza sotto permutazioni delle misure prodotto. Nell'ultima parte, si prende
per derivare la variante desiderata della disuguaglianza di Grönwall.
Per ogni numero naturale
incluso lo zero,
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450cc28b2be7dc0bc7d3128b3b614bae7d57c9fb)
con resto
![{\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0d5c31f191d376a0269a07b512a23f375c3fa2)
dove
![{\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edbfcdec4494695642a0494c6191fba85c4a9f6)
è un simplesso
-dimensionale e
![{\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719fb7965170a07d1512529f3592c61f59cf5ead)
Dimostrazione della prima parte:
Si usa l'induzione matematica. Per
è la disuguaglianza integrale nelle ipotesi, perché la somma vuota è definita come zero.
Passo induttivo da
a
:
Inserendo la disuguaglianza per
assunta per ipotesi nel resto si ha
![{\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358cbeda767108372663195790f6cc1874a1eb64)
con
![{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad5651b7c86f3701bb58502461bd4fbc3975be4)
Usando il teorema di Fubini per scambiare i due integrali, si ottiene
![{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f3ed2de8d9dcb6b42fe815abc3b5bda9466bf)
Quindi la disuguaglianza è dimostrata per
.
Per ogni numero naturale
incluso lo zero e tutti i
in
![{\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf7c53c56aa15fadc6056bb93cf27ce94907dea)
con l'uguaglianza nel caso in cui
è continua per
.
Dimostrazione della seconda parte:
Per
, l'enunciato è vero per definizione. Dunque, si considererà
.
Sia
l'insieme di tutte le permutazioni degli indici in
. Per ogni permutazione
si definisce
![{\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f8de5c13d8ae6a0aa3b8a1d838608538b0fa74)
Questi insiemi sono disgiunti per differenti permutazioni e
![{\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717e651f70c75971de59ede29258104cbcafde19)
Pertanto,
![{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0719e314f3aa3454ed89e7c8f0ca5f873c143dcc)
Dal momento che essi hanno la stessa misura rispetto a
-prodotti di
, e poiché ci sono
permutazioni in
, la disuguaglianza desiderata segue di conseguenza.
Si assuma ora che
sia continua per
. Allora, per differenti indici
, l'insieme
![{\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4488ebdbab8379fbf60337e703af5133f411ff)
è contenuto in un iperpiano, quindi dall'applicazione del teorema di Fubini la sua misura rispetto ad
prodotti della misura è zero. Poiché
![{\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b46408d74539b4cda61b0b4b5a67b01f1a678f)
l'uguaglianza è dimostrata e la (2) segue di conseguenza.
Per ogni numero naturale
, (2) implica per il resto della (1) che
![{\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735cec7fdd4a3dd79f96a1d75ce344dc80689bce)
Per ipotesi si ha
. Ne segue che l'assunzione dell'integrabilità di
implica che
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ddeb92b61e6ca1cfa6af72e63479e15916be0a)
La seconda parte e la rappresentazione in serie della funzione esponenziale implica la stima
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea5f210d5f26416841ec18ae084b52baebae24a)
in
. Se la funzione
è non negativa, allora è sufficiente inserire questi risultati nella (1) per derivare la variante della disuguaglianza di Grönwall ottenuta sopra per la funzione
.
Se
sia continua per
è continua per
, dalla (1) si ricava
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{con }}n\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435d03753430f66ccc942b5f5b4abbf91cf275ee)
e l'integrabilità della funzione
permette di usare il teorema della convergenza dominata per concludere la dimostrazione dell'enunciato.
- ^ Thomas H. Gronwall, Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, in Ann. of Math., vol. 20, n. 2, 1919, pp. 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565.
- ^ Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, in Duke Math. J., vol. 10, n. 4, 1943, pp. 643–647, DOI:10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR 0009408, Zbl 0061.18502.
- ^ B.G. Pachpatte, Inequalities for differential and integral equations, San Diego, Academic Press, 1998, ISBN 978-0-08-053464-0.
- ^ Steward N. Ethier e Thomas G. Kurtz, Markov Processes, Characterization and Convergence, New York, John Wiley & Sons, 1986, p. 498, ISBN 0-471-08186-8, MR 0838085, Zbl 0592.60049.