Juan Viedma Castillo fa parte del numeroso gruppo di giovani atleti spagnoli disabili visivi che, a partire dal 1992, hanno conquistato moltissime medaglie ai Giochi paralimpici estivi, passando attraverso le varie manifestazioni sportive dell'IBSA e dell'IPC. Distintosi come lunghista e soprattutto come triplista, ha ottenuto il podio in entrambe le discipline ai Giochi di Barcellona 1992 e ai Giochi di Atlanta 1996.
Nel 2000, alle Paralimpiadi di Sydney, oltre alle sue specifiche discipline, si è unito alla staffetta 4×100 m, costituita da un gruppo già due volte vincitore di medaglia d'oro (1992 e 1996) e i cui pilastri erano Julio Requena e Juan Antonio Prieto. L'inserimento di Viedma è avvenuto già nel 1999, quando il team conquistò la medaglia d'oro agli Europei IBSA di Lisbona. A Sydney la squadra spagnola ha ottenuto il bronzo, unica medaglia per Viedma Castillo e ultima per lui alle Paralimpiadi. Dopo altre partecipazioni internazionali, l'atleta si è ritirato nel 2004.