Funzioni di Struve

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In matematica, le funzioni di Struve sono funzioni speciali che sono soluzioni dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea di Bessel:

dove è la funzione Gamma. La sua soluzione generale ha una forma del tipo:

dove e sono costanti arbitrarie, mentre e denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedente, e viene chiamata funzione di Struve di ordine .

Trattandosi di un'equazione non omogenea, la soluzione dell'equazione di Bessel può essere costruita a partire da una soluzione particolare aggiungendo le soluzioni della rispettiva equazione omogenea. In questo caso, le soluzioni omogenee sono le funzioni di Bessel, e la soluzione particolare può essere scelta come la corrispondente funzione di Struve.

L'espansione delle funzioni di Struve in serie di potenze ha la seguente forma:

In particolare:

La funzione di Struve modificata, denotata con , si sviluppa in serie di potenze come:

Forma integrale

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Una definizione alternativa della funzione di Struve per valori di che soddisfano è possibile tramite la rappresentazione integrale:

Forme asintotiche

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Per piccoli valori di , lo sviluppo in serie di potenze è data sopra, mentre per grandi valori di

dove è la funzione di Neumann.

Le funzioni di Struve soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza:

Collegamenti con altre funzioni speciali

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Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni special, come le funzioni di Bessel e , le funzioni di Bessel sferiche modificate , le funzioni di Anger , funzioni di Weber e le funzioni di Struve modificate . Nello specifico, per quanto riguarda le funzioni di Weber, possono essere scritte attraverso di esse e viceversa, ovvero se è un intero non-negativo allora:

Le funzioni di Struve di ordine , con intero, possono inoltre essere scritte tramite funzioni elementari; in particolare se è un intero non-negativo allora:

dove il membro di destra è una funzione di Bessel sferica.

Le funzioni di Struve di ordine qualsiasi possono anche essere definite con la funzione ipergeometrica generalizzata :

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzioni di Struve, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) A.B. Ivanov, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) Struve function in functions.wolfram.com
  • (EN) J. P. Mason, http://torpedo.nrl.navy.mil/tu/ps/doc.html?dsn=352291&hi=1&p=1[collegamento interrotto] NRL Memorandum Reports, MR-3181, 1975.
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