Congettura di Marshall Hall

In matematica, la congettura di Marshall Hall è un problema aperto di teoria dei numeri sulla differenza tra quadrati perfetti e cubi perfetti. Essa afferma che se $x^{3}$ e $y^{2}$ non sono uguali, allora la loro distanza deve essere superiore a una costante dipendente da $x$. Questa congettura, che prende il nome dal matematico Marshall Hall, Jr., deriva da alcune considerazioni sui punti interi della curva di Mordell, nella teoria delle curve ellittiche.

Enunciato

La versione originale della congettura, formulata da Marshall Hall nel 1970, afferma che esista una costante C tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y² ≠ x³, vale che

$|y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.$

Forma debole

Una versione debole della congettura, dovuta a Stark e Trotter intorno al 1980, rimpiazza la radice quadrata a destra della disuguaglianza con un qualsiasi esponente minore di 1/2. In altre parole, afferma che per ogni ε > 0 esiste una costante C(ε) dipendente da ε tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y² ≠ x³, vale che

$|y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.$

Progressi

• Originariamente lo stesso Hall pensava che la costante potesse essere presa circa come 1/5. Ma nel 1998 Elkies trovò il controesempio:

$4478849284284020423079182^{2}-58538865167812233^{3}=-1641843,$

per il quale C sarebbe circa 1/50, ovvero un decimo di quanto proposto da Hall.

• Nel 1982 Danilov ha dimostrato che la congettura è falsa se si sostituisce la radice quadrata con qualsiasi esponente maggiore di 1/2.
• Nel 1965 Davenport aveva dimostrato un risultato analogo nel caso dei polinomi: se f(t) e g(t) sono polinomi non nulli in C tali che g(t)³ ≠ f(t)² in C[t], allora

$\deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.$

• La forma debole della congettura sarebbe una conseguenza della congettura abc

Bibliografia

• Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag, 2004, D9, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001.
• Marshall Hall, Jr., The Diophantine equation x³ - y² = k, in A.O.L. Atkin e B. J. Birch (a cura di), Computers in Number Theory, 1971, pp. 173–198, ISBN 0-12-065750-3, Zbl 0225.10012.

Collegamenti esterni

• Pagina di Noam Elkies sul problema.