Albero delle terne pitagoriche primitive
In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.
Terne pitagoriche primitive[modifica | modifica wikitesto]
Una terna di numeri interi è una terna pitagorica se ; è una terna pitagorica primitiva se non hanno fattori in comune, cioè se .
Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi con che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):
- (cateto dispari)
- (cateto pari)
- (ipotenusa)
La relazione inversa permette di calcolare per ogni terna:
Considerando e come coordinate del piano complesso ( e ), si hanno le rispettive coordinate polari e . Si ottiene la relazione:
da cui e .
La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:
Alberi di terne pitagoriche primitive[modifica | modifica wikitesto]
Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.[1]
Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla oppure alla coppia
Albero UAD[modifica | modifica wikitesto]
Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:[2][3][4][5][6]
con le corrispondenti per le coppie:
Albero FB[modifica | modifica wikitesto]
Il secondo albero, introdotto da Firstov[1] e Price[7], utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:
con le corrispondenti per le coppie:
Albero UMT[modifica | modifica wikitesto]
Il terzo albero, determinato da Firstov[1], ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:
con le corrispondenti per le coppie:
Note[modifica | modifica wikitesto]
Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) R.C. Alperin, The Modular Tree of Pythagoras (PDF), in American Mathematical Monthly, vol. 112, 2005, pp. 807-816.
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- (EN) L. Palmer, M. Ahuja e M. Tikoo, Constructing Pythagorean Triple Preserving Matrices, in Missouri Journal of Mathematical Sciences, vol. 10, n. 3, 1998, pp. 159-168.
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- (EN) J. Tong, Conjugates of Pythagorean Triples, in The Mathematical Gazette, vol. 87, n. 510, novembre 2003, pp. 496-499.
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