Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio , il cui integrale in è La regola del trapezio ritorna l'integrale della linea a tratto arancio, pari a . La regola di quadratura di Gauss a 2 punti ritorna l'integrale della linea a tratto nera, pari a . Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle regioni rosse.
Dati punti nodali in un intervallo , e una funzione , il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura è uguale a se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale in rispetto ad una funzione peso.
Per ipotesi si scelga una , spazio dei polinomi di grado , la scelta della infatti non influenza la successione di valori .
Vale allora che
perché, essendo univocamente determinati i pesi , la formula di quadratura deve essere di precisione almeno .
Si consideri il polinomio , un polinomio di grado , tale che per ogni e che , dove è un polinomio ortogonale di grado avente gli zeri nei punti nodali.
È quindi possibile scrivere
ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo polinomio ortogonale. Ne consegue che
da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado .