Lemma di Artin-Rees

In matematica, il lemma di Artin-Rees (o teorema di Artin-Rees) è un teorema della teoria dei moduli su anelli noetheriani. Prende nome da Emil Artin e David Rees, che lo dimostrarono indipendentemente negli anni cinquanta.

Enunciato

Sia $A$ un anello commutativo unitario noetheriano, $I$ un ideale di $A$, $E$ un $A$-modulo finitamente generato, $(E_{n})$ una $I$-filtrazione stabile di $E$ (ovvero una successione di sottomoduli di $E$ tale che $IE_{n}=E_{n+1}$), $F$ un sottomodulo di $E$. Allora:

1. $(E_{n}\cap F)$ è una $I$-filtrazione stabile di $F$.
2. Esiste un $k\geq 0$ tale che $I^{n}E\cap F=I^{n-k}(I^{k}E\cap F)$ per ogni $n\geq k$

In particolare, le successioni $(I^{n}F)$ e $(I^{n}E\cap F)$ hanno differenza limitata, ovvero esiste un $k$ tale che $I^{n+k}F\subseteq I^{n}E\cap F$ e $I^{n+k}E\cap F\subseteq I^{n}\cap F$.

Conseguenze

La prima conseguenza del lemma di Artin-Rees è che, se $E$ è un modulo finitamente generato e $F$ un suo sottomodulo, allora la topologia $I$-adica su $F$ coincide con la topologia di sottospazio indotta dalla topologia $I$-adica su $E$. Da questo segue che il completamento preserva le successioni esatte di moduli finitamente generati, ovvero che il completamento è un funtore esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Il lemma di Artin-Rees, inoltre, può essere usato per dimostrare il teorema dell'intersezione di Krull.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.