In matematica per serie ipergeometriche di Lauricella o funzioni di Lauricella si intendono quattro serie ipergeometriche di tre variabili introdotte e studiate da Giuseppe Lauricella nel 1893.
![{\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6e1719aa6531e9bca415b96e82251b78f57040)
![{\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0261f9e5f9942993bf6c3530d872d0d5ac0542d7)
![{\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9c973d7cc18bcb09fdbcea1c9362b25c13c5be)
![{\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e42aad2bfa20c88e07befde9b2b58537472128)
dove
denota il simbolo di Pochhammer, cioè
![{\displaystyle (a)_{i}:=a(a+1)\dots (a+i-1).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfe86f6f16c55c453875c73ed9bfe0cf2f3d313)
Lauricella ha anche indicato l'esistenza di altre dieci interessanti funzioni ipergeometriche di tre variabili. Queste sono state individuate e studiate da Saran nel 1954. Si parla anche delle 14 funzioni ipergeometriche di Lauricella-Saran.
Le quattro serie introdotte da Lauricella si possono estendere direttamente ad altrettante funzioni di
variabili come segue.
Talora il termini serie ipergeometriche di Lauricella denota queste stesse serie.
Quando si riducono le variabili a due si ottengono le serie ipergeometriche di Appell come segue:
![{\displaystyle F_{A}\equiv F_{2},\,F_{B}\equiv F_{3},\,F_{C}\equiv F_{4},\,F_{D}\equiv F_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd0ac9c99fbe08341cb9bafeae2f91f0551c59b)
Se ci si riduce ad una variabile tutte le quattro funzioni si riducono alla serie ipergeometrica di Gauss
![{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a;b;c;x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab67460bbe4d3e5ff0edff3afbab84e0f4e3c0a0)
Queste definizioni sono generalizzazioni della definizione della serie ipergeometrica.
- G. Lauricella: Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Circ. Mat. Palermo, 7, p.111-158 (1893).
- (FR) Paul Émile Appell, Joseph Kampé de Fériet: Fonctions hypergéométriques et hypersphériques (Parigi, Gauthier-Villars, 1926)
- S. Saran: Hypergeometric Functions of Three Variables, Ganita, 5, No.1, p77-91 (1954).
- (EN) Lucy Joan Slater: Generalized Hypergeometric Functions capitolo 8 (Cambridge University Press, 1966) ISBN 052106483X MR 0201688
- (EN) H. Exton: Multiple hypergeometric functions (Halsted Press, 1976) ISBN 0470151900