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Un quadrilatero. In geometria , la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:
A
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro,
α
{\displaystyle \alpha }
γ
{\displaystyle \gamma }
La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.
Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo
A
=
Area
(
A
D
B
△
)
+
Area
(
B
D
C
△
)
=
=
a
d
sin
α
2
+
b
c
sin
γ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\operatorname {Area} ({\stackrel {\vartriangle }{ADB}})+\operatorname {Area} ({\overset {\vartriangle }{BDC}})=\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}\end{aligned}}}
Perciò
4
A
2
=
(
a
d
)
2
sin
2
α
+
(
b
c
)
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
.
{\displaystyle 4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}
Il teorema del coseno implica che
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}
poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD . Ciò può essere riscritto nella forma
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}
Sostituendo questo nella formula di sopra per
4
A
2
{\displaystyle 4A^{2}}
4
A
2
+
(
b
2
+
c
2
−
a
2
−
d
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
+
(
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
.
{\displaystyle 4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,}
Questo può essere scritto come
16
A
2
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
+
d
−
c
)
(
a
+
c
+
d
−
b
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}
Introducendo il semiperimetro
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
,
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}
la formula sopra diventa
16
A
2
=
16
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16A^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
da cui segue la formula di Bretschneider.
La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico , la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo .
Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è
α
+
γ
2
=
π
2
{\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}
