Utente:Gabriele Nunzio Tornetta/Sandbox
IL MIO CANTIERE! Benvenuti nella mia sandbox. Lavori in corso! ( Lavori temporaneamente interrotti per mancanza di tempo :( ) In questa pagina potete vedere a cosa sto lavorando. Attualmente sto lavorando a Teorema di Huygens-Steiner Se volete potete aiutarmi contribuendo costruttivamente a ciò a cui sto attualmente lavorando. |
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Figura_e_formula_huygens-steiner.jpg/220px-Figura_e_formula_huygens-steiner.jpg)
Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.
Enunciato[modifica | modifica wikitesto]
Il momento rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi c ed a.
.
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Si prenda un sistema di riferimento 0xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano e , dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).
Si prenda un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da . Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento () si ha che
- .
Ora verrà calcolato direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Per calcolarlo si prenda un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché , applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha
- .
Sviluppando il quadrato si ottiene e, raccogliendo, si ha
- .
Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa Icm, calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità , mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di 'x'd'm' è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto - essendo sull'origine - è pari a 0.
Si ottiene quindi il risultato finale:
- .