Utente:Blakwolf/Lavoro

Energia degli stati stazionari dell'atomo di idrogeno

L'atomo di idrogeno è il più semplice, essendo formato solamente da un protone ed un elettrone. Entrambe le particelle hanno spin 1/2, e quindi abbiamo 4 possibili stati:

${\left|++\right\rangle },{\left|+-\right\rangle },{\left|-+\right\rangle },{\left|--\right\rangle }$

dove i segni sono rispettivamente gli spin dell'elettrone e del protone. Utilizzando l'operatore di scambio spin di Dirac σ, l'hamiltoniana del sistema è

$H=E_{0}+A\sigma _{e}\cdot \sigma _{p}$

in cui E₀ è l'energia media del sistema. Per semplificare i calcoli, la consideriamo pari a 0, misureremo quindi le variazioni di energia degli stati rispetto all'energia media.

Esplicitando H nei suoi componenti, risulta

$H=\left({\begin{matrix}A,0,0,0\\0,-A,2A,0\\0,2A,-A,0\\0,0,0,A\end{matrix}}\right)$

Considerando le ampiezze di probabilità C_i per i vari stati, si ha

$i\hbar {\frac {\partial C_{1}}{\partial t}}=AC_{1}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{2}}{\partial t}}=-AC_{2}+2AC_{3}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{3}}{\partial t}}=2AC_{2}-AC_{3}$

$i\hbar {\frac {\partial C_{4}}{\partial t}}=AC_{4}$

Dato che vogliamo degli stati stazionari, C_i avrà la forma $a_{i}e^{(-i/\hbar )Et}$ , in cui a_i è indipendente dal tempo. Derivando e sostituendo otteniamo

$Ea_{1}=Aa_{1}$

$Ea_{2}=-Aa_{2}+2Aa_{3}$

$Ea_{3}=2Aa_{2}-Aa_{3}$

$Ea_{4}=Aa_{4}$

Una soluzione banale è a_i=0, che scartiamo in quanto il sistema non può restare sempre nello stesso stato, in quanto si violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. Un'altra soluzione è a₁=1, a₂=a₃=a₄=0, che ci dà E_I = A . Immediatamente dalla quarta relazione otteniamo un'altro stato simile, E_II = A. Per gli altri 2 stati, consideriamo la somma e la sottrazione della seconda e terza relazione. Avremo

$\left|III\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|2\right\rangle +\left|3\right\rangle )$

$\left|IV\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|2\right\rangle -\left|3\right\rangle )$

Dalla prima si ottiene facilmente E_III = A, e dalla seconda E_IV = -3A. quindi abbiamo tre stati con un'energia A al di sopra di E₀, e uno con energia 3A inferiore. l'energia necessaria per eccitare l'atomo dallo stato più basso a uno dei più alti è 4A. Quindi, dalla relazione ω=4A/h posso ricavare la frequenza di eccitazione dell'idrogeno. Sperimentalmente si trova che f=1.420.405.751.800Hz. Quindi, reintroducendo l'energia media, gli stati sono E_I,II,III=E₀ + A, E_IV=E₀ - 3A

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Fine del discorso. Ora, qualunque valore si prenda per E₀, la frequenza resta la stessa. Inoltre, dato che esiste sicuramente un'energia di interazione elettrodebole tra le particelle, qui tralasciata, la massa a riposo delle particelle stesse, sicuramente l'energia media non è nulla, ma, al meglio delle mie conoscenze, non conosco nessun modo per ricavarla in maniera assoluta, anche perchè non credo sia un invariante. Attendo con ansia pareri e/o motivate smentite.

BW 05:50, Ago 10, 2004 (UTC)

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Provo a dire la mia sperando di non offendere e di non essere offeso da nessuno (dato che una discussione puramente accademica come questa stà un po' degenerando...)
Mi sembra che i punti aperti siano due: come definire il lavoro in maniera univoca e come definire l'energia (argomento forse più appropriato ad una pagina dove si parli di energia invece che di lavoro ma non importa ;-).
Il mio parere è che il metodo migliore per definire il lavoro non è a partire dall'energia ma dal concetto di forza e di campi di forze (definiti univocamente dal secondo principio della dinamica: ${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$). A questo punto la definizione rigorosa di lavoro diventa $L=\int _{l}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$. Il problema può essere quello di definire univocamente i simboli e/o quello di spiegare in italiano questo concetto (cosa, a mio parere, fattibile solo tramite una serie di esempi; una definizione da dizionario non sarà mai precisa e rigorosa come una definizione matematica).
Per quanto riguarda l'energia butto giù solo alcuni dati di fatto:

• l'energia non è un invariante: al variare del sistema di riferimento (anche mantenendosi su sistemi di riferimento inerziali) l'energia cambia e quindi l'energia stessa deve essere definita volta volta in un sistema di riferimento specifico.
  
• a livello microscopico e/o matematico l'energia può essere divisa in energia cinetica ed energia potenziale. Tutte le altre forme di energia (calore, energia chimica ecc.) possono sempre essere ricondotte a queste due ed esistono in forma separata solo per motivi storici.
  
• l'energia potenziale, in quanto integrale indefinito di un campo di forze, è definito a meno di una costante arbitraria. Quasto vale sia in meccanica classica che in meccainica quantistica che nella relatività generale che in teoria dei campi e chi più ne ha più ne metta.
  
• la derivazione dell'energia dell'atomo di idrogeno fatta da BW (a cui ribadisco la mia stima) lascia un po' perplessi perché considera come unico termine dell'hamiltoniana l'interazione spin-spin che invece non è dominante. La trattazione canonica studia l'interazione coulombiana e poi introduce gli altri termini (spin-spin, spin-orbita, correzioni relativistiche, dimensione finita del nucleo ecc.) come perturbazioni al problema.
  

  che io ricordi, se consideri tutto quanto spieghi la struttura iperfine delle righe di assorbimento, dovute alla seprazione dei tre stati di energia A, e di base restano i due momenti magnetici dati dagli spin nel campo elettrostatico. Almeno così mi pare...

  BW

Sperando di essere stato utile --Berto 07:29, Ago 10, 2004 (UTC)

p.s. Non metto in dubbio che i tipi di it.scienza.fisica siano preparatissimi, ma se fossero un tantinello meno spocchiosi io gradirei moltissimo...

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Mi sembra utile rievidenziare il nocciolo del problema: tra energia e lavoro quale deve essere definito in base all'altro?

Danilo

Siccome il lavoro ha una definizione tutto sommato semplice in funzione dei campi di forze direi che non c'é alcun bisogno di definirlo a partire dall'energia. Per definire l'energia invece ci sono diverse possibilità: una di queste è di definirla sulla base del concetto di lavoro (che altro non è che il nome che diamo all'energia che viene scambiata) ma non è che quest'ipotesi mi faccia impazzire... troverei molto più naturale definire l'energia sulla base del concetto di potenziale (anch'esso facilmente definibile sulla base dei campi di forze) e poi far vedere che energia e lavoro sono essenzialmente la stessa cosa.
Per farla breve: la mia modesta opinione è che non ci sia alcun vero bisogno di definire lavoro ed energia in funzione l'uno dell'altro visto che possono essere definiti entrambi a partire dai campi di forze (con un paio di teoremini per introdurre in modo naturale l'energia cinetica).
--Berto 08:42, Ago 10, 2004 (UTC)

Ciao, estendo l'invito a te e a Gianluigi: potreste dare uno sguardo a Discussione:lavoro (fisica)? al meglio delle mie conoscenze, non si può ricavare l'energia media dell'atomo di idrogeno, ma solo la differenza tra questa e gli stati. Commentate pure nella pagina relativa, che poi si mette il risultato nell'articolo.

BW 06:02, Ago 10, 2004 (UTC)

Sulla discussione della pagina "lavoro" mi sembrava un tantinello off-topic e quindi puntualizzo qui un paio delle cose dette. L'appunto che volevo muovere alla tua dimostrazione è semplice: nonostante sia inappuntabile da un punto di vista matematico ti sei dimenticato di un particolare non indifferente, dire con chiarezza di che cosa stavi parlando ;-))). L'interazione spin-spin è un argomento affascinante (almeno per un fisico) e denso di conseguenze e applicazioni. Tuttavia il titolo del tuo intervento era qualcosa del tipo (non ricordo le parole esatte) "energia media dell'atomo di idrogeno" il che farebbe pensare ad un calcolo dei termini dominanti dell'hamiltoniana, e non ad un approfondimento su di un termine di cui la maggior parte delle persone non conosce neanche l'esistenza e che, come tu stesso hai puntualizzato in seguito, ha effetti sulla struttura iperfine! Tutto corretto, tutto giusto ma continuo a pensare che avresti potuto trovare un esempio più semplice per spiegare il tuo punto di vista :-). Con stima -- Bert 08:30, Ago 10, 2004 (UTC)

Hai perfettamente ragione riguardo al titolo :) Per l'esempio, tanto era un articolo che volevo comunque scrivere, e tanto valeva... Ad ogni modo, l'energia media E₀ è, secondo me, non calcolabile per più motivi:

1. principio di indeterminazione: non è possibile calcolarla esattamente, ma al più con precisione h/Δt
2. interazioni da considerare: elettrodebole, gravità (sia massa che interazioni), quantomeccaniche, + altre a tutt'oggi ignote, vedi energia oscura e simili.
3. dulcis in fundo non è un invariante.

E dunque, non è un valore fisso, ma un termine di riferimento, cosa a cui mi riallacciavo alle definizioni circolari di lavoro ed energia: se l'energia non è altro che una specie di entropia termodinamica, il discorso non è circolare, in quanto è l'energia disponibile, e quindi la possibile variazione di energia, la capacità di compiere un lavoro. La somiglianza non è superficiale in quanto un sistema in equilibrio termodinamico alla temperatura T, ha una certa energia interna, che però finchè non può trasmettere a un sistema di temperatura più bassa non può essere utilizzata per compiere un lavoro. Prima o poi butto giù qualcosa, mettendoci anche in mezzo la differenza tra l'entropia gravitazionale e quella termodinamica come sorgente di entropia negativa. Ma sto divagando: tornando agli stati dell'atomo di idrogeno, volevo aggiungere gli effetti di un campo magnetico, che causa la separazione dei tre livelli a E₀+A, ma più in là, prima volevo trovargli una forma abbastanza semplice. Salumi e vasi

BW 09:14, Ago 10, 2004 (UTC)

L'energia "media" dell'atomo di idrogeno ad una temperatura data (dove per temperatura non si intende la temperatura termodinamica ma la temperatura equivalente del "bagno" di fotoni in cui è immerso) può essere calcolata con precisione, in linea di principio, arbitraria. Infatti per le grandezze medie non vale il principio di indeterminazione ma il teorema di Ehrenfest (pensalo come un principio di indeterminazione con Δt → ∞). Anche la tua seconda motivazione non regge se pensi di voler calcolare non esattamente ma con una precisione arbitraria (ma finita), in questo caso il contributo dei termini "incalcolabili" (gravità relativistica ecc.) diventano trascurabili ad ogni scopo pratico. L'ultima piccola nota è che, sebbene l'energia non sia un'invariante, la si può calcolare nel sistema di riferimento del centro di massa (che è il metodo standard) e poi passarla nel sistema di riferimento che più ci interessa. Con la speranza di essere stato utile e chiaro (mi piacciono le utopie ;-)--Bert 10:11, Ago 10, 2004 (UTC)

+ che utopia, è ucronia :) quando lo raggiungi l'infinito? Comunque la mia obiezione fondamentale è che non è possibile dare un valore assoluto istantaneo di energia: se è un'energia media, allora l'energia non è assoluta, e per di più varierà istante per istante. Inoltre è soggetta a variazioni a seconda del sistema di riferimento, e quindi non si può parlare neanche di energia media in termini assoluti, ma solo relativi: E₀ è allora un valore di riferimento, su cui poi si va a calcolare l'effettiva energia degli stati. Ho stato chiaro? Inoltre per i contributi ignoti, non puoi sapere quanto valgono, se no che ignoti sono? Proprio vedere se ci sono discrepanze con le previsioni è il metodo migliore per testare una teoria ;).

BW 11:23, Ago 10, 2004 (UTC)

È appunto sull'approccio metodologico che ti critico. È ovvio che la conoscenza dell'energia media è una cosa diversa dalla conoscenza dell'energia istantanea ed è altrettanto ovvio che quest'ultima è definibile solo nei limiti consentiti dal principio di indeterminazione. Ma questa non è una gran limitazione! Dopo tutto abbiamo fatto fisica per quasi un secolo dall'enunciazione del principio d indeterminazione e grosse cantonate non ne abbiamo prese ;-)
Una volta definita la costante arbitraria sulla definizione del potenziale (e questo, di solito, viene fatto in maniera standard e convenzionale in modo da semplificare il più possibile i conti) l'energia media ( e quella istantanea) ha un valore anche come grandezza assoluta, non solo relativa. Il fatto che il valore numerico cambi al variare del sistema di riferimento è un falso problema visto che le regole di trasformazione fra diversi s.d.r. sono ben note. È vero che lo splitting dei livelli viene quasi sempre computato in forma relativa e non assoluta ma questo è dovuto unicamente alla maggiore comodità.
Per quanto riguarda i contributi ignoti la mia risposta è molto semplice (e poi èanche la risposta che ti sei già dato da solo ;-): basta fare un esperimento! Che io sappia la struttura iperfine dell'atomo di idrogeno è stata misurata con grande precisione e quindi si è potuto dare un limite superiore all'influenza che potrebbero avere ulteriori contributi teorici ancora ignoti.
Sia lode alla meccanica statistica e tutti i trucchi che essa ci dà per aggirare la meccanica quantistica!!! ;-)))--Berto 13:02, Ago 10, 2004 (UTC)

IMHO non è un falso problema: è come cercare di trovare un tempo assoluto tenendo conto della relatività. Se anche ci si riesce, non è un concetto di adesso universale. Io posso calcolare l'equivalente temporale in ogni punto dell'Universo rispetto a me, ma la cosa, spesso, non è simmetrica. Pensa all'energia di un fotone in uscita da un buco nero: per noi è zero, per il fotone no. Oppure alla luce del sole vista da un astronave a 0.9999c: in avvicinamento è quasi pura radiazione X, in allontanamento è pressochè nulla. Ovvio, posso calcolare qual'è l'energia nel sistema di riferimento del sole, ma ciò non toglie che mi ustioni in avvicinamento o che non lo veda in allontamento. Quindi, come non esiste un tempo assoluto, non esiste un'energia assoluta, con l'aggravante che se si può trovare l'invariante per lo spaziotempo, non si può per l'energia. Non so se mi spiego...

BW 13:10, Ago 10, 2004 (UTC)

mi autocorreggo, esiste il tensore energia-quantità di moto, che è invariante. E il parallelo con lo spazio-tempo è completo ;)

BW 05:23, Ago 11, 2004 (UTC)

Cerco di riformulare il mio punto di vista in maniera più chiara e finalizzata (te l'ho detto che adoro la utopie ;-). Quello che dici tu (l'impossibilità di misurare grandezze con precisione infinita, la non invarianza relativistica di molte grandezze dirilevanza comune come l'energia, l'inesistenza di un tempo o di uno "spazio" assoluti ecc.) sono falsi problemi perché, sebbene siano irrisolvibili (o forse proprio perché sono irrisolvibili), si è ormai in grado di aggirarli e continuare a fare fisica mantenendo tutto il rigore matematico che vuoi. Nel XX secolo nell'ambito della fisica c'é stato un enorme rivoluzione che si è accompagnata anche ad una rivoluzione della terminologia e delle aspettative (oggi a nessuno interessa più cercarlo un "adesso" universale così come nessuno è più in cerca del flogisto medioevale ;-).