Teorema di Viviani

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Per ogni punto (interno) P di un triangolo equilatero, la somma delle sue distanze dai tre lati s + u + t è costante, e uguale all'altezza del triangolo.

Il teorema di Viviani, un teorema della geometria euclidea, afferma che la somma delle tre distanze dai lati di un qualunque punto di un triangolo equilatero è costante, e uguale all'altezza del triangolo[1][2][3]. Prende il nome dal matematico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) che lo dimostrò.

Dimostrazione

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La dimostrazione si basa sul fatto che l'area del triangolo è data dalla regola base per altezza diviso due.

Sia ABC un triangolo equilatero di altezza h e lato a.

Sia P un punto interno del triangolo, e u, s, t le distanze da P dai suoi rispettivi lati. I segmenti che da P incontrano i vertici A, B, and C, suddividono il triangolo ABC in tre triangolini PAB, PBC, and PCA. Poiché il triangolo è equilatero, le loro rispettive basi sono uguali (e costanti) al lato a del triangolo ABC.

Le tre rispettive aree sono , , e . La loro somma fornisce l'area del triangolo. Per cui:

e quindi

u + s + t = h.

Q.E.D.

  1. ^ Una dimostrazione del teorema fu proposta dal matematico Vincenzo Viviani nel 1659.
  2. ^ (EN) Elias Abboud, On Viviani's Theorem and its Extensions, in College Mathematics Journal, vol. 43, n. 3, 2010, pp. 203-211, DOI:10.4169/074683410X488683.
  3. ^ Per estensione questa proprietà della somma costante delle distanze di un punto della figura geometrica dai lati appartiene a tutti i poligoni regolari, i poligoni equilateri, i poligoni equiangoli e i poligoni con i lati opposti paralleli.

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