Relazione di Poisson

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La relazione di Poisson è un operatore lineare che mette in relazione la derivata di un vettore rispetto a sistemi di riferimento in moto rotatorio relativo.[1]

Sia u un generico vettore, e siano dati due sistemi di riferimento, di cui uno fisso e l'altro in rotazione rispetto al primo. Allora, tra le derivate del vettore nei due sistemi di riferimento esiste la seguente relazione:

dove il termine con indice 1 rappresenta la derivata calcolata nel sistema fisso, mentre il termine con indice 2 la derivata calcolata nel sistema rotante. La grandezza ω rappresenta in questo caso la rapidità con cui varia l'angolo tra i due sistemi di riferimento, ovvero la velocità angolare relativa.

Dimostrazione

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Sia dato un vettore u nello spazio, e sia Aθ la matrice di rotazione. Allora esiste una base dello spazio nella quale la matrice può essere espressa come:

Tale matrice trasforma le coordinate del sistema fisso in quelle del sistema rotante. Inoltre, l'argomento θ che compare nell'espressione della matrice è una funzione della variabile t.

Un vettore può dunque essere espresso come combinazione lineare degli elementi delle due basi:

con i versori accentati rappresentanti la base del sistema rotante. Derivando la prima forma si ottiene:

che esprime la derivata del vettore u nel sistema fisso.

Ora i versori del sistema rotante possono essere determinati servendosi della matrice di rotazione:

Derivando ora la seconda forma di u si ha:

I primi tre termini sono, per definizione, la derivata del vettore u calcolata nel sistema rotante; i rimanenti tre termini possono essere riscritti come:

Tuttavia, si riconosce che, detto , tale espressione è impropriamente il determinante della matrice:

In definitiva, uguagliando le due espressioni si ottiene la tesi:

La linearità della relazione discende evidentemente dalla linearità dell'operatore di derivata.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Coriolis.

Si consideri più generalmente un sistema di riferimento con assi ortonormali secondo convenzione levogira S' solidale con un corpo rigido, e in moto rispetto ad un sistema dotato di medesima base ortonormale, ma fisso.

Sia allora A la matrice le cui colonne sono composte dai vettori della base di S' misurati in S. Allora, per la derivata di tale matrice vale la seguente relazione:

dove B è una matrice antisimmetrica.

Sarà allora:

Ora, come già visto in precedenza, la derivata di un versore è direttamente proporzionale alla rapidità con cui esso varia la sua direzione, e quindi alla sua velocità angolare lungo la direzione degli altri versori. Ne consegue che i coefficienti della matrice antisimmetrica saranno delle velocità angolari. Sia allora ω il vettore

Dal calcolo di ω × i' si ha:

mentre dal calcolo di ω × j' discende che:

Da ciò si conclude che α = ω3, β = ω2 e γ = ω1. La relazione di Poisson diventa allora

Per descrivere la posizione di un corpo rigido solidale al sistema S' rispetto al sistema S si considerano i vettori posizione di un generico punto P del corpo rigido

Derivando, e applicando la relazione di Poisson appena ricavata, si determina

  1. ^ Formule di Poisson, su youmath.it. URL consultato il 25 settembre 2020.
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