Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se è una funzione invertibile, se , se è continua nel punto e se esiste , allora è derivabile in e vale:
dove e sono notazioni che indicano la derivata e indica la parte interna di
Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.
La richiesta è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in
Anche la richiesta che sia continua nel punto è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione invertibile e con derivata in uguale a , la cui inversa nel punto non è continua (e quindi neppure derivabile).
={1 \over f'(x_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627b46ca18bf53bf44863894d1c20970baa2b035)
![{\displaystyle D[f^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc992441e04db33d0584677307f90a410ce13e29)
=\lim _{y\to y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0}) \over y-y_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c552fbe48e173d1e96fe673452329f8d0903cb)
=\lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over f(x)-f(x_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0335df4609c90544a9bd246b0a575527197f17)
={1 \over f'(x_{0})}={1 \over f'(f^{-1}(y_{0}))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4b33d277e74a75b08268b34a8eaa935e2c9b8a)
![{\displaystyle D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}={1 \over 1+(\tan x)^{2}}={1 \over 1+y^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a32c137a0fe40a0a6d671626458e954cac7336b)
