Procedura di Faddeev-Popov

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Nella teoria quantistica dei campi, in particolare nel formalismo del integrale sui cammini, la procedura di Faddeev-Popov è una procedura matematica utilizzata per quantizzare correttamente i campi di gauge. Prende il nome dai fisici russi Ljudvig Dmitrievič Faddeev e Victor Popov.

Problemi nella quantizzazione dei campi di gauge

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A differenza dei campi scalari e dei campi fermionici la quantizzazione dei campi di gauge richiede una particolare attenzione dovuta proprio alla presenza della simmetria di gauge. In particolare nel caso del formalismo del path integral si deve risolvere l'integrale:

con la misura relativa al campo di gauge e l'azione gauge invariante. L'integrale in questa forma è mal definito e diverge in quanto si integra su tutte le possibili trasformazione di gauge di uno stesso campo e non è presente una soppressione di tipo gaussiano che annulla i contributi delle trasformazioni che mandano all'infinito. Questo problema può essere risolto discretizzando su reticolo la teoria mediante la procedura di Wilson ridefinendo i campi di gauge fondamentali come degli elementi del gruppo di gauge e non della sua algebra, ottenendo in questo modo un integrale definito su un gruppo compatto. Alternativamente è possibile rimanere nel continuo modificando l'azione come proposto da Faddeev e Popov.

Procedura per campi non abeliani[1]

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Per campi di Yang-Mills con gruppo di simmetria l'azione gauge invariante nell'euclideo è definita come

La funzione di partizione è quindi

con

Impongo una condizione di gauge fixing che chiamo ; in particolare scelgo il gauge di Lorentz:

Definisco il fattore di Faddeev-Popov tale che:

con la misura di Haar relativa alla trasformazione di gauge del tipo

con elemento di . Per definizione la misura di Haar è gauge invariante. Si dimostra facilmente che anche il fattore di Faddeev-Popov è invariante di gauge:

Moltiplico la funzione di partizione per

Poiché l'integranda è costante in si può svolgere l'integrale in ottenendo una costante moltiplicativa che trascuro definendo

Cambio condizione di gauge fixing passando al gauge di Landau

Espandendo al primo ordine la legge di trasformazione del campo si ottiene che

con derivata covariante che agisce sulla rappresentazione aggiunta

Di conseguenza si ottiene che

Dalla definizione del fattore di Faddeev-Popov, sfruttando le proprietà della delta di Dirac si ricava che

Poiché nella derivata covariante compare il campo la presenza del fattore di Faddeev-Popov nel path-integral modifica completamente l'integrale. Dagli integrali noti in teoria di campo il determinate di una matrice può essere scritto come integrale su variabili di Grassmann

con

Introduco due campi anticommutanti detti ghost di Faddeev-Popov tali che

con

azione di Faddeev-Popov. I campi sono campi anticommutanti nonostante siano campi scalari complessi e violano quindi il teorema spin-statistica. Questo non è in realtà un problema, infatti ai ghost non sono associate particelle reali. Tornando alla funzione di partizione questa diventa

Moltiplicando la funzione di partizione per un fattore gaussiano in si ottiene la soppressione necessaria per rendere l'integrale convergente. Ridefinisco quindi la funzione di partizione come

Il parametro può assumere qualsiasi valore reale, in particolare nel caso si parla di gauge di Feynman. Integrando in si ottiene il risultato finale della procedura di Faddeev-Popov, una funzione di partizione ben definita convergente

con

  1. ^ Weinberg, S., The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, 1995, DOI:10.1017/CBO9781139644167.