Paradosso della conoscibilità di Fitch

Il paradosso della conoscibilità di Fitch, anche conosciuto come paradosso della conoscibilità di Church-Fitch, dai nomi del logico Alonzo Church che lo dimostrò per primo, e di Frederic Fitch che lo riscoprì rendendolo noto, è uno dei principali rompicapi della logica epistemica. Consiste, in sostanza, nello sfidare l'accettabilità della tesi di conoscibilità (è possibile, in principio, conoscere un fatto vero), comune a diversi indirizzi di pensiero, mostrando che implicherebbe l'onniscienza (tutti i fatti sono conosciuti, attualmente).

Il paradosso è problematico specialmente per i verificazionisti e anti-realisti, poiché tendono ad accettare la tesi di conoscibilità ma a rifiutare fortemente l'onniscienza.

Storia

Il paradosso è diventato noto con l'articolo A Logical Analysis of Some Value Concepts di Frederic B. Fitch (1908-1987), che citava una sconosciuta fonte in un articolo del 1945. L'articolo è stato individuato nel 2009 da Joe Salerno e lo si deve ad Alonzo Church.

Esposizione

La tesi del paradosso è "il principio di conoscibilità implica l'onniscienza", o equivalentemente dal punto di vista logico, "il principio di conoscibilità è incompatibile con la non onniscienza" e anche "la non onniscienza implica la falsità del principio di conoscibilità".

I passaggi logici della dimostrazione possono essere esposti colloquialmente come segue:

- Sia K l’insieme di tutte le affermazioni vere

- Ipotizziamo che tutto ciò che è vero (tutte le affermazioni in K) possa essere conosciuto

- Consideriamo x = “la frase p è una verità che non conosciamo”, e ipotizziamo sia vera

- Questo vuol dire che, per l'ipotesi al primo punto, è possibile arrivare a conoscere la frase x, e per l'ipotesi al secondo punto questa stia in K

- Ma se arrivassimo a conoscerla, allora sapremo anche che “p” è vera, contraddicendo x. Quindi x non può essere conosciuta e vera allo stesso tempo.

- Quindi x non può far parte dell’insieme K, che considera solo le frasi contemporaneamente vere e conoscibili

- Quindi tutte le frasi in K sono vere e conosciute, da cui l'onniscenza

La dimostrazione formale usa pochissime regole:

• (A) Sapere "p & q" implica "Sapere p & Sapere q", in simboli: $K(p\land q)\vdash Kp\land Kq$ (distributività di K su &);
• (B) Sapere qualcosa implica che essa sia vera, (o "se una cosa è falsa non si può dire di conoscerla"), in simboli: $Kp\vdash p$;
• (C) Se qualcosa è logicamente vero, allora è necessario, in simboli: $\vdash p\implies \vdash \Box p$ (regola di necessitazione);
• (D) Se è necessario che p sia falso, allora p non è possibile, in simboli: $\Box \neg p\leftrightarrow \neg \Diamond p$. Questa non è una vera regola, è solo una definizione che serve per scrivere la prova in meno spazio.

Ovviamente le assunzioni sono il principio di conoscibilità (KP) e la non onniscienza (NonO).

• Premessa 1: $\forall p(p\rightarrow \Diamond Kp)$ (KP)
• Premessa 2: $\exists p(p\land \neg Kp)$ (NonO)

Dimostrazione:

(1)

"p & non si sa che p"

$p\land \neg Kp$ (istanza di NonO)

(2)

"p & non si sa che p" implica che "è possibile sapere che (p & non si sa che p)

$(p\land \neg Kp)\rightarrow \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da premessa 2, eliminazione di ∀)

(3)

"è possibile sapere che: p & non si sa che p"

$\Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 1, 2 via Modus Ponens)

(4)

"si sa che: p & non si sa che p"

$K(p\land \neg Kp)$ (ipotesi ad absurdum, istanza di 3)

(5)

"si sa p e si sa che non si sa p"

$Kp\land K\neg Kp$ (da 4 via A)

(6)

"si sa p e non si sa p"

$Kp\land \neg Kp$ (da 5 via B)

(7)

"non si sa che: p e non si sa che p"

$\neg K(p\land \neg Kp)$ (reductio ad absurdum da 4→6 - 6 è una contraddizione)

(8)

"è necessario non sapere che p & non si sa che p"

$\Box \neg K(p\land \neg Kp)$ (da 7 via C)

(9)

"è impossibile sapere che: p & non si sa che p"

$\neg \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 8 via D)

(10)

(KP) implica l'Onniscienza, e la non Onniscienza implica che non è possibile conoscere qualsiasi proposizione

${\text{(KP)}}\vdash \neg {\text{(NonO)}}$ ovvero ${\text{(NonO)}}\vdash \neg {\text{(KP)}}$ (per reductio ad absurdum su 1,2→3 tramite 9, $\neg ((1)\land (2))$)

Collegamenti esterni

• (EN) Berit Brogaard, Joe Salerno, Fitch’s Paradox of Knowability, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.