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Il lemma di Slutsky è una delle applicazioni del teorema di Slutsky, utilizzato in particolare per dimostrare che la continuità di una funzione è condizione necessaria e sufficiente per la conservazione della convergenza in probabilità.
Siano e variabili casuali k-dimensionali; considero continua e ipotizzo che . Allora:
Fisso . Considero un compatto t.c. . Dunque: . Dal teorema di Heine-Cantor, so che una funzione continua su un compatto è anche uniformemente continua, cioè
- t.c. se allora .
Per ipotesi so che , cioè
- t.c. ,
Ora
Dunque
e quindi, per l'uniforme continuità
cioè
che è la tesi.