Costruzione dei numeri reali

In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

Costruzione intuitiva a partire dai numeri decimali

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come

x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...

dove $n$ è un numero intero e ogni $d_{i}$ è una cifra tra 0 e 9 (le cifre $d_{1},d_{2},\ldots$ sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio, $1/2$ e $2/4$ ), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione $d_{1},d_{2},\ldots$ finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri

1=0,99999999\ldots

rappresentano lo stesso numero reale (vedi 0,999...). Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ in cui la successione $d_{i}$ non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.

Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ è il numero reale $x$ che soddisfa questa doppia disequazione per ogni $k$ :

n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}\leq x<n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}+{\frac {1}{10^{k}}}.

La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:

l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

Costruzione tramite serie

Un modo per costruire l'insieme $\mathbb {R}$ simile a quello appena visto, ma più astratto, è quello di utilizzare le serie e gli insiemi di numeri naturali. Questo metodo prende spunto dall'argomento diagonale di Cantor, utilizzato per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali.

Consideriamo la rappresentazione binaria di un numero reale $x\geq 0$ : essa è una stringa di 0 e 1, di cui la sottostringa prima della virgola ha lunghezza finita (si omette lo 0 prima della virgola se $x\leq 1$ , in modo da evitare che i numeri minori di 1 abbiano cifre nella parte intera); sia dunque $n\in \mathbb {N}$ il numero di cifre binarie di $x$ che rappresentano la sua parte intera. Possiamo allora riscrivere $x$ come segue: $x=2^{n}\cdot d$ , da cui si ricava $d={\frac {x}{2^{n}}}$ .

Dato che la rappresentazione binaria di $2^{n}$ è lunga $n+1$ cifre (1 seguito da $n$ zeri), mentre quella di $x$ ha solo $n$ cifre nella parte intera, allora $0\leq x\leq 2^{n}$ , dunque, dividendo per $2^{n}$ , si ottiene $0\leq {\frac {x}{2^{n}}}\leq 1$ , e siccome ${\frac {x}{2^{n}}}=d$ , abbiamo che $0\leq d\leq 1$ .

Quindi, ogni coppia di numeri reali opposti può essere espressa come $\pm 2^{n}\cdot d$ , dove $n\in \mathbb {N}$ e $0\leq d\leq 1$ . Questo però non basta, perché $d$ è a sua volta un numero reale. Sappiamo però che esso è compreso tra 0 e 1, possiamo perciò sfruttare quest'informazione a nostro favore.

Consideriamo dunque la rappresentazione binaria di $d$ : essa è una stringa infinita di 0 e 1, possiamo allora "contare" le cifre partendo dalla più significativa, assegnando ad ognuna un numero naturale a partire da 1, incrementandolo di 1 ogni volta che passiamo alla cifra successiva. In questo modo, possiamo definire il seguente insieme di naturali $S=\{i\in \mathbb {N} \mid {\text{l'}}i{\text{-esima cifra di }}d{\text{ è }}1\}$ . La funzione $\mathbf {1} _{S}\colon \mathbb {N} \to \{0,1\}$ , che è la funzione indicatrice di $S$ , è dunque così definita:

\mathbf {1} _{S}(i)={\begin{cases}1,&{\text{se }}i\in S\\0,&{\text{se }}i\notin S\\\end{cases}}

Per cui, basandoci sulla notazione posizionale, possiamo esprimere $d$ come una serie:

d=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)

Dunque, $x$ può essere espresso come segue:

x=2^{n}\cdot d=2^{n}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n}\cdot 2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)

In definitiva, possiamo allora definire l'insieme $\mathbb {R}$ come segue:

\mathbb {R} =\left\{\pm \sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,S\subseteq \mathbb {N} \right\}

Costruzione tramite le sezioni di Dedekind

Costruzione

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme $\mathbb {Q}$ dei razionali in due insiemi: l'insieme $A_{r}$ dei razionali tali che $a<r$ e l'insieme $B_{r}$ dei razionali tali che $b\geq r$ . Dedekind chiama quindi la coppia $(A_{r};B_{r})$ una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come ${\sqrt {2}}$ definisce una sezione $(A,B)$ , dove $A$ è dato da tutti i razionali $a$ tali che $a<{\sqrt {2}}$ , mentre $B$ è dato da tutti i razionali $\beta$ con $\beta >{\sqrt {2}}$ .

Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia $(A,B)$ di sottoinsiemi non vuoti di $\mathbb {Q}$ tali che

$A\cap B=\emptyset$
$A\cup B=\mathbb {Q}$
$\forall a\in A,\forall b\in B,a<b$

In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:

$(A,B)$ dove $A$ è l'insieme dei razionali strettamente minori di $r$ e $B$ è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a $r$ ,
$(A,B)$ dove $A$ è l'insieme dei razionali minori o uguali a $r$ e $B$ è l'insieme dei razionali strettamente maggiori di $r$ .

Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme $A$ di $\mathbb {Q}$ tale che

$A$ è non vuoto e differente da $\mathbb {Q}$
per ogni $a$ in $A$ , se $a'<a$ allora $a'$ appartiene a $A$ .
$A$ non ha massimo, cioè non esiste $m$ in $A$ tale che $m>a$ per ogni altro $a$ in $A$ .

Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale ${\sqrt {2}}$ è definito dalla sezione

A=\{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\ {\text{oppure}}\ a^{2}<2\}

.

Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in $\mathbb {R}$ è presente una copia isomorfa di $\mathbb {Q}$ : l'insieme $\{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}$ , dove indichiamo con $X_{q}$ il segmento iniziale $\{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}$ .

Proprietà

Relazione d'ordine e completezza

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

Addizione

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni $A$ e $B$ , la somma $A+B$ è la sezione

A+B=\{a+b\ |\ a\in A,b\in B\}

Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro $X_{0}=\{x<0\}$ .

Moltiplicazione

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:

A\times B=\{ab\ |\ a\in A,a>0,b\in B,b>0\}\cup \{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\}

e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.

L'insieme $\mathbb {R}$ munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme $\{X_{q}\ |\ q\in \mathbb {Q} \}$ è un sottocampo, naturalmente isomorfo a $\mathbb {Q}$ .

Costruzione tramite successioni di Cauchy

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.