Calcolo di pi greco

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Voce principale: Pi greco.

Esistono diversi metodi per il calcolo di π (pi greco).

Metodi standard

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π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:

che permette di calcolare esplicitamente π:

Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà il quadrato della distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:

Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se

Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di .

La formula può essere scritta come:

In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r2 per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.

Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:

r Area Approssimazione di π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.

Frazioni continue

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A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:

(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site [1].)


Trigonometria

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La serie di Gregory-Leibniz

è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare ; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di ; si giunge quindi a formule dove si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:

Formule per di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.

Considerando un triangolo equilatero ed osservando che

si trova che:

L'algoritmo Salamin-Brent

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L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.

Metodi di estrazioni di cifre

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Formula BBP (base 16)

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Lo stesso argomento in dettaglio: Formula di Bailey–Borwein–Plouffe .

La formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre"). [2][3]

Miglioramento di Bellard (base 64)

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Una formula alternativa per il calcolo di in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.[4]

Estensione ad una base arbitraria

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Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di in una base arbitraria in un tempo O(n3log(n)3).[5]

Miglioramento usando la formula di Gosper

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Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n2).[6]

Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.

Background pi

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Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi [7] cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.

  1. ^ Pi: Continued fraction representations, su functions.wolfram.com. URL consultato il 10 febbraio 2022.
  2. ^ (EN) David H. Bailey, Peter B. Borwein e Simon Plouffe, On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants, in Mathematics of Computation, vol. 66, n. 218, 1997, pp. 903–913, DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
  3. ^ (EN) Eric W. Weisstein, BBP Formula, in MathWorld, Wolfram Research.
  4. ^ (EN) Sito di Bellard: Copia archiviata, su fabrice.bellard.free.fr. URL consultato il 27 ottobre 2007 (archiviato dall'url originale il 12 settembre 2007).
  5. ^ (EN) Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, novembre 1996
  6. ^ (EN) Sito di Bellard: http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf
  7. ^ (EN) Background Pi

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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