Adams giocò a football con i Connecticut Huskies dal 2012 al 2015.
Nel corso della sua carriera universitaria fece registrare 33 partenze da titolare (di cui 12 nel 2014 e 13 nel 2015); inoltre nel corso del suo ultimo anno in squadra fu anche uno dei quattro capitani della squadra[1].
Il 6 maggio 2016 Andrew Adams firmò con i New York Giants dopo non essere stato scelto da nessuna squadra nel corso del draft[2].
Il 3 settembre Adams venne svincolato dai Giants[3] ma il giorno successivo firmò nuovamente con i Giants, per entrare a far parte della squadra d'allenamento[4]. Il 23 settembre Adams venne promosso nella lista degli atleti disponibili per la squadra titolare[5].
Adams mise a segno il suo primo intercetto in NFL durante la gara di settimana 9 quando riuscì a bloccare la palla lanciata da Carson Wentz, il quarterback dei Philadelphia Eagles.
Il 7 febbraio 2021 Adams scese in campo nel Super Bowl LV contro i Kansas City Chiefs campioni in carica nella vittoria per 31-9, conquistando il suo primo titolo.[6]
^(EN) Michael Eisen, New York Giants announce 20 roster moves, su giants.com, 3 settembre 2016. URL consultato il 10 febbraio 2018 (archiviato dall'url originale il 25 agosto 2017).
^(EN) Andrew Mason, Giants promote safety Andrew Adams, su denverbroncos.com, 23 settembre 2017. URL consultato il 10 febbraio 2018 (archiviato dall'url originale il 25 settembre 2016).